小朋友学算法（6）：求幂pow函数的四种实现方式

在math.h中，声明了一个函数pow(x, n)，用于求x的n次方。
假如咱们不调用math.h中的pow函数，如何实现求x ^ n的算法呢？

一、while非递归

#include <stdio.h>

double pow1(double x, unsigned int n)
{
    int res = 1;
    while(n--)
    {
        res *= x;
    }

    return res;
}

int main()
{
    printf("2 ^ 10 = %f\n", pow1(2, 10));
    printf("5 ^ 3 = %f\n", pow1(5, 3));
    printf("10 ^ 0 = %f\n", pow1(10, 0));

    return 0;
}

运行结果：

2 ^ 10 = 1024.000000
5 ^ 3 = 125.000000
10 ^ 0 = 1.000000

二、递归方法1

#include <stdio.h>

double pow2(double x, unsigned int n)
{
    if(0 == n)
    {
        return 1;
    }
    if(1 == n)
    {
        return x;
    }

    return x * pow2(x, n - 1);
}

int main()
{
    printf("2 ^ 10 = %f\n", pow2(2, 10));
    printf("5 ^ 3 = %f\n", pow2(5, 3));
    printf("10 ^ 0 = %f\n", pow2(10, 0));

    return 0;
}

三、递归方法2

#include <stdio.h>

double pow3(double x, unsigned int n)
{
    if(0 == n)
    {
        return 1;
    }
    if(1 == n)
    {
        return x;
    }

    if(n & 1)   // 如果n是奇数
    {
        // 这里n/2会有余数1，所以需要再乘以一个x
        return pow3(x * x, n / 2) * x;
    }
    else        // 如果x是偶数
    {
        return pow3(x * x, n / 2);
    }
}

int main()
{
    printf("2 ^ 10 = %f\n", pow3(2, 10));
    printf("5 ^ 3 = %f\n", pow3(5, 3));
    printf("10 ^ 0 = %f\n", pow3(10, 0));

    return 0;
}

四、快速求幂算法

上面三种方法都有一个缺点，就是循环次数多，效率不高。举个例子：
3 ^ 19 = 3 * 3 * 3 * … * 3
直接乘要做18次乘法。但事实上可以这样做，先求出3的2^k次幂：
3 ^ 2 = 3 * 3
3 ^ 4 = (3 ^ 2) * (3 ^ 2)
3 ^ 8 = (3 ^ 4) * (3 ^ 4)
3 ^ 16 = (3 ^ 8) * (3 ^ 8)
再相乘：
3 ^ 19 = 3 ^ (16 + 2 + 1)
= (3 ^ 16) * (3 ^ 2) * 3
这样只要做7次乘法就可以得到结果：
3 ^ 2 一次，
3 ^ 4 一次，
3 ^ 8 一次，
3 ^ 16 一次，
乘四次后得到了3 ^ 16
3 ^ 2 一次，
(3 ^ 2) * 3 一次，
再乘以(3 ^ 16) 一次，
所以乘了7次得到结果。

如果幂更大的话，节省的乘法次数更多（但有可能放不下）。
即使加上一些辅助的存储和运算，也比直接乘高效得多。

我们发现，把19转为2进制数：10011，其各位就是要乘的数。这提示我们利用求二进制位的算法：

所以就可以写出下面的代码:

#include <stdio.h>

double pow4(double x, int n)
{
    double res = 1;
    while (n)
    {
        if (n & 1)        // 等价于 if (n % 2 != 0)
        {
            res *= x;
        }

        n >>= 1;
        x *= x;
    }

    return res;
}

int main()
{
    printf("2 ^ 10 = %f\n", pow4(2, 10));
    printf("5 ^ 3 = %f\n", pow4(5, 3));
    printf("10 ^ 0 = %f\n", pow4(10, 0));
    printf("3 ^ 19 = %f\n", pow4(3, 19));

    return 0;
}

运行结果：

2 ^ 10 = 1024.000000
5 ^ 3 = 125.000000
10 ^ 0 = 1.000000
3 ^ 19 = 1162261467.000000

五、效率比较

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
using namespace std;

#define COUNT 100000000


double pow1(double x, unsigned int n)
{
    int res = 1;
    while(n--)
    {
        res *= x;
    }

    return res;
}


double pow2(double x, unsigned int n)
{
    if(0 == n)
    {
        return 1;
    }
    if(1 == n)
    {
        return x;
    }

    return x * pow2(x, n - 1);
}


double pow3(double x, unsigned int n)
{
    if(0 == n)
    {
        return 1;
    }
    if(1 == n)
    {
        return x;
    }

    if(n & 1)   // 如果n是奇数
    {
        // 这里n/2会有余数1，所以需要再乘以一个x
        return pow3(x * x, n / 2) * x;
    }
    else        // 如果x是偶数
    {
        return pow3(x * x, n / 2);
    }
}


double pow4(double x, int n)
{
    double result = 1;
    while (n)
    {
        if (n & 1)
            result *= x;
        n >>= 1;
        x *= x;
    }
    return result;
}


int main()
{
    int startTime, endTime;

    startTime = clock();
    for (int i = 0; i < COUNT; i++)
    {
        pow(2.0, 100.0);
    }
    endTime = clock();
    printf("调用系统函数计算1亿次，运行时间%d毫秒\n", (endTime - startTime));

    startTime = clock();
    for (int i = 0; i < COUNT; i++)
    {
        pow1(2.0, 100);
    }
    endTime = clock();
    printf("调用pow1函数计算1亿次，运行时间%d毫秒\n", (endTime - startTime));

    startTime = clock();
    for (int i = 0; i < COUNT; i++)
    {
        pow2(2.0, 100);
    }
    endTime = clock();
    printf("调用pow2函数计算1亿次，运行时间%d毫秒\n", (endTime - startTime));

    startTime = clock();
    for (int i = 0; i < COUNT; i++)
    {
        pow3(2.0, 100);
    }
    endTime = clock();
    printf("调用pow3函数计算1亿次，运行时间%d毫秒\n", (endTime - startTime));


    startTime = clock();
    for (int i = 0; i < COUNT; i++)
    {
        pow4(2.0, 100);
    }
    endTime = clock();
    printf("调用pow4函数计算1亿次，运行时间%d毫秒\n", (endTime - startTime));

    return 0;
}

运行结果：

调用系统函数计算1亿次，运行时间189毫秒
调用pow1函数计算1亿次，运行时间795670毫秒
调用pow2函数计算1亿次，运行时间89756毫秒
调用pow3函数计算1亿次，运行时间6266毫秒
调用pow4函数计算1亿次，运行时间3224毫秒

从运行结果可以看出来，
最快的是math.h提供的函数pow，
接下来依次是pow4、pow3、 pow2，
最慢的是pow1，100万次用了近8秒，1亿次至少需要几十分钟或几个小时。

六、math.h中的pow函数源码

我使用的编译器是CodeBlocks，没法查看math.h的源码。
但是我在网络上找到了微软的math.h源码 http://www.bvbcode.com/cn/z9w023j8-107349
这里有关于pow函数的实现

template<class _Ty> inline
        _Ty _Pow_int(_Ty _X, int _Y)
        {unsigned int _N;
        if (_Y >= 0)
                _N = _Y;
        else
                _N = -_Y;
        for (_Ty _Z = _Ty(1); ; _X *= _X)
                {if ((_N & 1) != 0)
                        _Z *= _X;
                if ((_N >>= 1) == 0)
                        return (_Y < 0 ? _Ty(1) / _Z : _Z); }}

这个实现思路跟pow4的实现思路是一致的。

七、结论

在实际编程时，可以直接调用math.h提供的pow函数；
如果在特定场合需要自己定义的话，使用pow4的方式。

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