二叉搜索树、红-黑树和平衡树

二叉搜索树

又名二叉查找树，英文缩写为BST。

特点：

1. 若它的左子树不空，则左子树上的所有节点的值均小于它的根结点的值；
2. 若它的右子树不空，则右子树上的所有结点的值均大于它的根节点的值；
3. 它的左、右子树也分别为二叉搜索树

如图所示为一个二叉搜索树：

优势：

1. 有序性：若以“中序”遍历二叉树，则会产生一个所有结点关键字值的递增序列，如图所示的二叉搜索树，中序遍历的结果为：3、12、24、37、45、53、61、78、90、100；
2. 高效性：插入和查找的高效性，其算法的时间复杂度为O(h)，h表示树的高度，这是其它数据结构无法达到的。如：有序线性表虽然有序，但是插入算法的时间复杂度为O(n)；堆的插入算法虽然时间复杂度为O(log2n)，但是堆不具有有序性。

缺点：

不平衡性：二叉搜索树出现不平衡的情况，甚至出现极端情况——单链，如图，此时h=n，二叉搜索树就失去了它的效率优势，此时如果想要客服这种不平衡性，传统的优化方式为：平衡树、红-黑树

算法：

• 插入算法：
  • 从根节点出发，遇键值较大向左，遇键值较小向右，直到尾端，即为插入点
• 删除算法：

  • 如果删除节点只有一个子节点，那么直接将子节点连接至父节点即可
    

  • 如果删除节点有不止一个子节点，那么用右子树中的最小值取而代之即可。找到最小值很简单，一直向左走走到尽头即可
    

平衡树

全称自平衡二叉搜索树，英文缩写为AVL。

AVL tree是一个加上了额外平衡条件的二叉搜索树，其平衡条件的建立是为了确保整棵树的深度为O(logN)，。

平衡条件：直观上最佳平衡条件是每个节点的左右子树有着同样的高度，但这未免太过苛刻，我们很难插入新元素而保持这样的平衡条件。AVL树退而求其次，要求任何节点的左右子树高度相差最多1，这是一种较弱的条件，但是也可以保证对数深度的平衡状态。

自平衡算法：
发生条件：当元素插入且插入成功之后

新元素的位置无非下面四种：

1. 插入点位于X的左子节点的左子树 ---- 左左
2. 插入点位于X的左子节点的右子树 ---- 左右
3. 插入点位于X的右子节点的左子树 ---- 右左
4. 插入点位于X的右子节点的右子树 ---- 右右

其中X表示平衡状态被破坏之各节点中最深的那一个，由于节点最多有两个子节点，而平衡被打破意味着X的左右节点的高度差为2

• 情况1、4可以视为外侧插入，使用单旋转操作即可调整至平衡

如上图，左侧为旋转前，右侧为旋转后

为了调整平衡状态，我们希望将A提高一层，将C下降一层，也就是将看k1向上提高，k2向下下滑。
根据二叉搜索树的特性，我们可以知道可k2>k1，所以k2必须成为新树形中k1的右子节点。
根据二叉搜索树的特性，我们直到B子树处于k1与k2之间，那么新树形中的B子树必须落在K2的左侧。

• 情况2、3可以视为内侧插入，使用双旋转操作即可调整至平衡
  
  如上图，左侧为旋转前，右侧为旋转后

对于内测插入，单纯的进行一次单旋转是绝对不行的，因为旋转之后还是不平衡的，不妨可以自己画图试下。
对于内测插入的情况，唯一的可能就是将k2作为新的根节点，这使得(根据二叉搜索树的规则)k1必然成为k2的左子节点，k3必然成为k2的右子节点。

双旋转也并不是新鲜的算法，就是简单的进行两次单旋转即可。
双旋转具体流程：

1. k2与k1进行一次单旋转，k1就可以作为k2的左子节点出现
2. k2与k3进行一次单旋转，k3就可以作为k2的右子节点出现

红黑树

英文缩写为RB-tree。

红黑树的规则：

1. 每个节点不是红色就是黑色
2. 根节点为黑色
3. 如果节点为红，其子节点必须为黑
4. 在任一节点至NULL(树尾端)的任意路径，黑节点数必须相同

根据规则我们可以分析出来以下几个执行的必然情况：

1. 根据规则4，我们插入的元素必然是红色
2. 元素找到插入点插入之后，如果插入节点的父节点为红，那么就不符合规则三，就必须做出改变
3. 对于NULL元素，我们都视为黑色，这样我们就需要担心违反规则3.因为每一个路径到树尾端都会有一个尾端的NULL元素，所以对规则4黑色节点数相同不影响

如下图，向红黑树中插入3、8、35、75四个元素，因为新增节点必为红色，可以看出这四个元素不符合红黑树的规则，我们对这四个元素一一分析。

分析之前我们先明确一下各节点的命名：
X：新节点
P：新节点的父节点
G：新节点的父节点的父节点，即祖父节点
S：新节点的祖父节点除父节点外的另一个子节点，即伯父节点
GG：新节点的祖父节点的父节点，即曾祖父节点

1. 状态1：S为黑且为外侧插入(对应插入的元素3)

   对P、G做一个单旋转，并更改P、G的颜色即可

2. 状态2：S为黑且为内侧插入(对应插入的元素8)

• 对P、X做一次单旋转，并改变G、X的颜色
• 对X、G做一次单旋转，无需更改颜色
  

3. 状态3：S为红且为外侧插入(对应插入的元素75)

• 对P、G做一次单旋转，并改变X的颜色
• 如果GG是黑色，一切搞定，如果GG是红色，那就有些麻烦，我们看状态4
  

4. 状态4：S为红且为外侧插入(对应插入的元素35)

• 根据状态3进行相应的操作
• 如果GG为红色，还需要继续根据情况继续往上进行操作，直到不出现父子同为红色为止
  
  我们无需分析就可以想想得到，如果一直向上层结构发展，是非常消耗时效的，因此我们可以实施一个自上而下的程序。
  自上而下的程序逻辑：
  在新插入元素X时，会有一个从根节点向下搜寻插入点的过程，在这个过程中，如果发现某节点N的两个子节点为红色，那么就把X改为红色，并把两个子节点改为黑色。