Algorand中基于VRF的抽签算法深入理解

论文原文：https://dl.acm.org/doi/pdf/10.1145/3132747.3132757

一、算法介绍

此算法要做的事
从一群参选者中选出一些当选者，每一个参选者都事先有一个权重，在区块链系统中通常是账户余额，或者附加其他例如运行时间、在线时间、发起交易数量等指标，来衡量一个节点在分布式系统的参与度、重要度，从而根据这些指标来选出我们想要的某些节点。
达成效果
权重越大的节点，被选中的概率越大。某节点权重为$w$，实际上对应于它拥有$w$个小单元。本算法就是在所有的小单元中，选择若干数量的小单元，那么自然地，拥有的小单元越多，被选中的概率就越大了。

二、具体实施

建模

• 假如所有参选者权重之和为$W$，也就是总共有$W$个小单元。
• 设置一个阈值$\tau$，此阈值代表了要选出的小单元数量，它越大我们最终选出的当选者越多，那么每个小单元被选中的概率为$p=\frac{\tau }{W}$.
• 这样一来，对于某个权重为$w$的节点，选中它所拥有的$k$个小单元的概率就是$B(k;w,p)=C_w^k{p}^k(1-p{)}^{w-k}$，服从二项分布（$k$个被选中，$w-k$个未被选中）

具体的抽签办法
在论文原文中，作者把$[0,1)$区间划分为$w+1$个小区间，表示为：
$$I^j=[\sum _{k=0}^{j}B(k;w,p),\sum _{k=0}^{j+1}B(k;w,p)),j=0,1,...,w$$
然后通过VRF来生成随机数$\frac{hash}{2^{hashlen}}$，看这个随机数落在第几个区间，就说明对应节点被选中几次。

但上式中，当$j=0$时，区间$I^0$的左边界并非为0，所以按照下式写就更完整：

$$\begin{gathered} I^j=[0,\sum _{k=0}^{j}B(k;w,p)),j=0 \\ {I}^j=[\sum _{k=0}^{j-1}B(k;w,p),\sum _{k=0}^{j}B(k;w,p)),j=1,2,...w \end{gathered}$$

区间的划分如下图示意：

实际上，第$j$个区间的长度对应了相应节点被选中$j$次的概率，即$B(j;w,p)$，那么VRF生成的随机数落入第$j$个区间，就代表此次对该节点的抽签抽中了它$j$次（$j$个小单元被选中）

三、总结

算法本身不难，对于我这种概率论学得稀里糊涂的，最开始陷入了对二项分布物理意义的理解，一直搞不懂为啥那样分区间，最后画了个图，把每个区间长度看了下才懂，区间的左右边界没有什么实际物理意义，我们能够理解区间长度的意义就好啦~

（而且抱怨一下论文原文怎么就把第一个区间漏掉不写，$j=0$的时候明明左边界不是0啊喂！）