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同模余定理
定义所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数 d 去除，有相同的余数。d 数学上的称谓为模。
如 a = 6, b = 1, d = 5, 则我们说 a 和 b 是模 d 同余的。因为他们都有相同的余数 1 。
数学上的记法为： a≡ b(mod d) 可以看出当 n < d 的时候,所有的 n 都对 d 同商，比如时钟上的小时数，都小于 12， 所以小时数都是模 12 的同余.对于同余有三种说法都是等价的,分别为:
(1) a 和 b 是模 d 同余的.
(2) 存在某个整数 n ,使得 a = b + nd .
(3) d 整除 a - b .
可以通过换算得出上面三个说话都是正确而且是等价的，同余公式也有许多我们常见的定律，比如相等律，结合律，交换律，传递律….如下面的 表示:
1) a≡a(mod d)
2) a≡b(mod d)→b≡a(mod d)
3) (a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d) 如果 a≡x(mod d),b≡m(mod d),则
4) a+b≡x+m （mod d）
5) a-b≡x-m(mod d)
6) a*b≡x*m(mod d )
应用
(a+b)%c=(a%c+b%c)%c;
(a-b)%c=(a%c-b%c)%c;
(a*b)%c=(a%c*b%c)%c
同余模定理的运算不适用于除法
题1-求S(n)
题目描述
S(n)=n^5 求S(n)除以3的余数
输入描述:
每行输入一个整数n，(0 < n < 1000000) 处理到文件结束
输出描述:
输出S(n)%3的结果并换行
输入样例#:
1 2
输出样例#:
1 2
- n 虽然不大，但是 n^5 却超过 long long 的范围，所幸的 是题目只要我们对答案%3，这时候我们就可以运用同余模定理。 S(n)%3=(n^5)%3=(n*n*n*n*n)%3=((n%3)*(n%3)*(n%3)*(n%3)*(n%3))%3
#include<stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;
int n;
int main(){
//(n*n)%3==((n%3)*(n%3))%3
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
int res = n%3;
for(int i = 1;i<5;i++){//for循环中再* n%3四次
res = res*n%3;
}
cout<<res%3<<endl;
}
return 0;
} 最大公约数（GCD）
辗转相除法
-
辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。
-
用较大数除以较小数，再用出现的余数去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。最后为0，则除数为最大公约数。
-
依然是求18和30 的最大公约数，方法如图所示。
#include<stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
if (b==0) return a;
else return gcd(b,a%b)
}
int main(){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",gcd(x,y))
} 题2-最简真分数
题目描述
给出n个正整数，任取两个数分别作为分子和分母组成最简真分数，编程求共有几个这样的组合。
输入描述:
每组包含n（n<=600）和n个数，整数大于1且小于等于1000。
输出描述:
每行输出最简真分数组合的个数。
输入样例#:
7 3 5 7 9 11 13 15
输出样例#:
17
- 最简真分数的必要条件就是不可以继续约分，那么不可以 继续约分，就说明分子和分母的最大公约数为 1。因此，我们只需要枚举所有组合的情况然后 判断 GCD 即可
#include<stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
if(b==0) return a;
else return gcd(b,a%b);
}
int main(){
int buf[900];
int n,ans;
while(cin>>n){
for (int i = 0;i<n;i++)
cin>>buf[i];
ans = 0;
for(int i = 0;i<n;i++)
for(int j = i+1;j<n;j++)
if(gcd(buf[i],buf[j])==1) ans++;
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}分数化简
例如：给你一个分数 12/30，让你将它化简，很明显，我们都知道它的答案是 2/5。
那么：如果给你一个分数 x/y 呢？如何化简？ 我们可以得出：x/y = (x/gcd(x,y))/(y/gcd(x,y)) 那么只用求出他们的最大公约数，然后除一下就可以得到答案了
最小公倍数（LCM）
求两个数的最小公倍数，下面这个公式即可。 LCM(x, y) = x * y / GCD(x, y)
翻译一下就是：两个数的最小公倍数等于两个数的乘积除以两个数的最大公约数。 所以要求两个数的最小公倍数，我们只需求出他们的最大公约数即可。
上面的式子经过变形，可以很容易得到下面这个式子 x * y = LCM(x, y) * GCD(x, y)
题3-求最小公倍数
题目描述：
正整数A和正整数B 的最小公倍数是指 能被A和B整除的最小的正整数值，设计一个算法，求输入A和B的最小公倍数。
输入描述:
输入两个正整数A和B。
输出描述:
输出A和B的最小公倍数。
示例：
输入
5 7
输出
35
#include<stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
if(b==0) return a;
else return gcd(b,a%b);
}
int lcm(int x,int y){
return x*y/gcd(x,y);
}
int main(){
int m,n;
while(cin>>m>>n){
cout<<lcm(m,n)<<endl;
}
return 0;
}斐波那契数
定义
斐波那契数列指的是这样一个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233， 377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........ 这个数列从第 3 项开始，每一项都等于前两项之和。
公式
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
1、这个数列的上升速度非常快，很容易超过 int 和 long long 的范围
2、如果对答案取模，题目就可能要求我们计算第 10000000 项的值，我们就可以直接使用公式 求解，后面的章节也会讲到用矩阵快速幂求解的方法。
3、如果给你一个数列：a(1) = 1， a(n+1) = 1 + 1/a(n)。 那么它的通项公式为：a(n) =
素数
素数又叫质数。. 素数，指的是“大于1的整数中，只能被1和这个数本身整除的数”。
题4-判断素数
题目描述
输入一个整数，判断该整数是否为素数，若是，输出该整数，若否，输出大于该整数的第一个素数。（例如，输入为14，输出17，因为17是大于14的第一个素数）
输入描述:
输入一个整数n，n最大为10000。
输出描述:
按题意输出。
输入样例
14
输出样例
17
- 首先判断输入的 n 是不是一个素数，如果是的话就直接输出。如果不是的话， 我们从 n+1 开始，对每个数去判断它是不是一个素数，直到找到一个素数的时候终止
#include<stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;
int main(){
int n;
cin>>n;
if(n==1&&n== 0) n++;
for(int i = n; ; i++){
int flag = 0;
for(int j = 2;j<sqrt(i);j++){
if (i % j == 0){
flag = 1;
break;
}
}
if(flag==0){
printf("%d\n",i);
break;
}
}
return 0;
}
题5-判定素数
给定一个数n，要求判断其是否为素数（0,1，负数都是非素数）。
输入描述:
测试数据有多组，每组输入一个数n。
输出描述:
对于每组输入,若是素数则输出yes，否则输入no。
输入样例#:
13
输出样例#:
yes
#include<stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;
int main(){
int n;
while(cin>>n){
if(n<=1) cout<<"no"<<endl;
else {
int flag = 0;
for(int i = 2;i<sqrt(n);i++){
if(n%i==0){
flag = 1;
break;}
}
if(flag ==0)
cout<<"yes"<<endl;
else
cout<<"no"<<endl;
}
}
return 0;
}
题6-素数判定
题目描述
给你两个数a、b,现在的问题是要判断这两个数组成的区间内共有多少个素数
输入描述:
多组测试数据。 每个测试数据输入两个数a、b。(2<=a,b<=1000)
输出描述:
输出该区间内素数的个数。
输入样例#:
2 4 4 6
输出样例#:
2 1
提示
请注意a和b的大小关系不定
#include<stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;
int a,b;
bool is_prime(int n){
for(int i = 2;i<n;i++)
if(n%i==0) return false;
return true;
}
int main(){
while(cin>>a>>b){
int cnt = 0;
for(int i = min(a,b);i<=max(a,b);i++)
if(is_prime(i)) cnt++;
cout<<cnt<<endl;
}
}
题7-素数
题目描述
输入一个整数n(2<=n<=10000)，要求输出所有从1到这个整数之间(不包括1和这个整数)个位为1的素数，如果没有则输出-1。
输入描述:
输入有多组数据。 每组一行，输入n。
输出描述:
输出所有从1到这个整数之间(不包括1和这个整数)个位为1的素数(素数之间用空格隔开，最后一个素数后面没有空格)，如果没有则输出-1。
输入样例#:
100
输出样例#:
11 31 41 61 71
#include<stdio.h>
#include <bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;
bool is_prime(int n){
if(n<2) return false;
for(int i = 2;i<n;i++){
if(n%i==0) return false;
}
return true;
}
int main(){
int n;
while(cin>>n){
int flag=0;
for(int i = 2;i<n;i++){
if(is_prime(i)&&i%10==1){
flag=1;
cout<<i<<" ";
}
}
if(flag==0)
cout<<"-1";
cout<<endl;
}
}
题8-小于m的最大的10个素数
给定一个整数m（50<m<20000），找出小于m的最大的10个素数。
输入格式:
输入在一行中给出一个正整数m（50<m<20000）。
输出格式:
在一行中按递减顺序输出10个满足条件的素数，每个素数输出占6列。没有其它任何附加格式和字符。
输入样例:
229
输出样例:
227 223 211 199 197 193 191 181 179 173#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
int m ,i,j,count = 0;
scanf("%d",&m);
for(i = m-1;i>=2;i--){
for(j = 2;j<=sqrt(i);j++){
if(i%j == 0) break;
}
if(j>sqrt(i)&&count<10){
count++;
printf("%6d",i); }
}
}