写在前面, ppt鸟语一堆实在看得我头痛…
离散数学高级版
文章目录
命题逻辑
命题逻辑 Propositional Logic
句法
逻辑:在计算机科学中对情景建模的语言,以促进对他们的形式推理
逻辑是基于陈述句语句
Prop. = Propositional 命题的
declarative sentences 陈述句
原子命题可用符号p,q,r,Φ表示
命题逻辑的syntax句法,下面是命题逻辑的递归定义
::= 定义
命题的合适公式 ， 只有限次运用上述规则的命题称为well formed formulas
公式的解析树(树表示)
自然推理 命题逻辑证明理论
Natural Deduction 自然推理
命题逻辑的证明理论: 允许从现有的公式推出新的公式的证明规则集合
规则集合,基本规则如下
横线上的是条件，横线下是可推出的结论，红色标志是公式符号
规则集合,一些衍生规则
从命题Φ1,…Φn推出新命题φ
这个结构称为sequent(不知道怎么翻,后略说明)
如果能从现有的公式推出新的公式那么这个sequent是有效的
语义
命题逻辑的语义, the semantics
上面我们知道了,命题逻辑的句法可以表示为
还知道了一系列的形式的推导规则
但是公式的意义是什么呢?
命题被赋予T/F值,那么所涉及的命题的真值可以用真值表表示
证明的语义表示对应物
语义蕴含关系
soundness: 如果一个论证形式有效且前提为真，那么这个论证就是可靠的，其中逻辑系统是可靠的(sound)当且仅当系统中可证明的每个公式对于系统的语义都是逻辑有效的
comleteness:如果具有某一性质的公式都可以用该系统推导出来，即是该系统的定理之一，则称该形式系统是完备的
直观地说，一个系统被称为完备的，它能推导出每一个正确的公式
命题逻辑既是可靠的也是完备的
谓词逻辑及证明理论
从命题逻辑到谓词逻辑
有了命题逻辑,我们还需要更丰富的语言
命题逻辑研究陈述句,关于世界的每一个陈述句都可以被赋予一个真值,很好的处理了句子的组成部分,如非,并且,或者,如果那么,但是局限性是不能表达存在,所有,其中,当且仅当
那么一个命题可以用更好的逻辑结构来表示,引出了谓词逻辑
属性由谓词(Predicates)表示,如S
如S(Andy): Andy is a student, M(x,y):x is y’s mother
Andy是什么什么,就是赋了一个属性,可以用Predicates表示
变量(Variables)是一个具体的值的占位符
如S(x):x是一个学生
量词(Quantifiers)更好的表示短语,如果任一,存在量词(∀,∃ )
例子
没有一本书是气态的,字典是书,因此没有字典是气态的
Andy和Paul有同一个外祖母
引入了等号谓词 =,那么上面的表达可以变成
函数m(a):a的母亲,这样用函数func表示更合适,每一个人都有各自的一个母亲
B(x,y): x是y的兄弟,这个用谓词表示适合,因为每一个人可能不只一个兄弟
谓词逻辑形式语言
对谓词逻辑进行建模
（这部分根本不讲人话…）
谓词公式(predicate formula)中有两种东西, terms和formulas
terms: 如Andy,Paul,m(a)特指一个object,我们用terms来表示
formulas: 可以给出真值的表达式
谓语词汇*(predicate vocabulary)表由三组组成: P,F,C
谓词符号P
函数符号F
常量C
P,F都有一个固定大小的参数
谓词逻辑的形式语言的要素:
terms, formulas, 自由/受限变量, Substitution
Terms
terms术语*,我理解就是一个物体,抽象出来的obj
Terms定义为如下:
任何变量是一个terms
任何的常量C是一个terms
有n个terms,t1,…,tn,f是函数符号,那么f(t1,…,tn)是一个terms
巴科斯-诺尔范式（Backus-Naur Form）定义
上式注意的点是terms第一个组成部分是常量c和变量x,更复杂的terms是使用以前构建的terms再和函数符号构建出来
Formulas
formulas: 可以给出真值的表达式
用F,P定义的Formulas是归纳定义的，使用F上已经定义的terms
Formulas的定义
如果P是一个谓词, P具有n≥1个参数，且t1，…，tn是F的项，那么P(t1，…，tn)是一个公式 (formula)
Φ是一个表达式,那么非Φ也是一个表达式，这是一个递归定义，用到了之前的定义
如果两个formula,那么这两个formula的析取合取蕴含关系是formula
formula的任意存在关系也是formula
举个formula例子
我父亲的儿子都是我的兄弟
给出了两种表达
变量
变量的自由与受限
Φ是一个谓词逻辑的formula
如果说一个x在Φ中是自由的,那么x从叶子结点出发往上走没有遇到∀x或者∃x结点
∀xΦ中变量x的作用域要减去它子表达式x的作用域,如下图红框中的x才是同一个作用域的
Substitution
变量只是占位符，所以我们必须有办法用更具体的信息来代替它们
给定 variable x, term t, formula Φ
定义 Φ[t/x] 为:将Φ中的自由变量x替换为t得到的表达式
下图为一个例子
给定term t, variable x, formula Φ
t中有出现变量y, 要替换Φ中x, x应该不出现在有∀y或者∃y的作用域中,否则会产生不良影响
例子: 需要通过改写量词y的作用域中的变量y来实现替换，下面就将量词y替换成了z
t is free for x in Φ, 定义很绕：对t中出现的每个变量如v, 没有自由的x结点在v的量词作用域中，
换句话说就是：对t中出现的每个变量如v, 有自由的x结点在v的量词作用域中，t就不是自由的
那么再换句话说：对t中出现的每个变量如v, 所有自由的x结点不在v的量词作用域中，t就是自由的
所以首先能替换的前提是x是自由的结点，再考虑t替换后，是否存在t中出现的变量与作用域冲突
如果根本没有可以替换的自由结点，那么t也是自由的，这种是特殊的情况
例题：
t = g(z, y)
第一种情况，命题Φ中t代替x，发现根本没有自由的变量x，所以替换不了，因此t是自由的对于x
第二种情况，命题Φ中t代替y，第二个谓词P的y可以替换，g(z,y)替换进去后，只考虑t中所有出现的变量即z和y，发现与z作用域冲突，有一个冲突，所以not free
第三种情况，命题Φ中t代替z，第一个谓词P中的z可以替换，g(z,y)替换进去后，只考虑t中存在的变量z和y，与y作用域冲突，与z作用域不冲突，有一个冲突，因此是not free
谓词逻辑的证明理论
证明理论: 规则集合,上面提到过了,证明理论是允许从现有的公式推出新的公式的证明规则集合
命题逻辑的自然推演规则依然有效
谓词逻辑的自然推导规则有:
命题逻辑规则
等号规则
全称量词和存在量词规则
量词的等价关系（量词规则）
等号规则
=e式中用到了t1=t2, 用一个整体的思维下面证明
任意的消去和引入
存在量词的规则
例子: 比较综合的一题
谓词逻辑语义
在命题逻辑中，我们可以基于原子命题的T/F值给表达式一个T/F值
但是在谓词逻辑中呢，如下公式，在命题逻辑，我们可以给P(x)和Q(y)一个T/F值，来判断表达式的T/F值
但是对于谓词逻辑在通常情况下，变量和谓词之间的关系和给原子命题分配的T/F值不能随机进行
因为我们需要考虑到量词关系
对于存在量词中的变量，如∃xΦ
我尝试找到一些具体的x值，存在一个值让表达式为T即可
而对于∀xΦ，需要判断对所有可能的x值让表达式为T，只有存在一个x不满足则为F
Models
函数符号F，谓词符号P，F和P的参数是固定大小的（不能有无限个参数）
(F,P)的model M定义为：
1.非空的集合A，域中的具体的值
2.F中所有的函数，An是A中元素组合得到的n个元组（a1,…,an），作为参数，An经过函数f得到值也要在A中包含，这样才完备
3.对于P中所有的谓词， 具体 P M P^M PM的值是An集合的子集，因为谓词逻辑输入是多个值，表示这些值之间的关系
对f， f M f^M fM 和P, P M P^M PM的区分
f M f^M fM 和 P M P^M PM 是抽象含义中的一个具体
举个具体的例子
F = {+， *， -}
P = { =， <=, <, zero}
对于model M定义为：
1.集合A，A是数值的空间域， A=全体实数R
2.F中所有函数，+,*,-，接收两个实数的参数，返回它们的相加，乘积，相减的值
3.P中的所有谓词，=，<=, < 表示等于，小于等于，小于，zero表示接收的参数r值为0
则任意y，只要y=0， 那么y乘任意实数都等于0，可以形成表达式：
look-up table
对于谓词逻辑的表达式，我们尝试检查一个具体的情况是否满足表达式
我们给定一个 环境（env）look-up table来进一步说明一个特定情况下的表达式的关系
look-up table：将表达式变量到具体值的映射
宏观上看是一个特定的环境，具体来看实现是通过look up table操作替换变量成具体值
定义env的更新操作
l[x -> a](y)，当y=x，意思是把x变量替换成常量a
如果是其他变量，那就找那个变量的替换，比如y那就去看l(y)
The Satisfaction Relation
给定一个（F,P）的Model M，给定一个env l，我们定义一个满足关系,给定在关于env*l的Model中, 表达式Φ都为T,那么我们有下面的满足关系表达（satisfaction relation）
比如下面举一个例子, model有F和P和特定情景env,当loves={(a,a), (b,a), (c,a)}时,Φ不满足为T
给两个env l和l’ ,对Φ的自由变量替换都是相同的,l(x) = l’(x), 我们有以下成立:
如果Φ没有自由的变量,那么Φ成立与是否是特定哪个env是无关了,对于这种情况,满足关系可以直接写成
Semantic Entailment
蕴含语义*
大概说的是谓词逻辑下的蕴含表达
有若干表达式Φi, 在任何env和M下,Φi (1~n)都有满足关系,然后推出对应的M和l下,φ也有满足关系, 那么能如下进行表示:
符号重载: 这时候这个符号表示为谓词逻辑下的蕴含预测（semantic entailment）,而不是满足关系了
例子:大体上都是说谓词的量词值域和具体值之间应考虑统筹关系
Semantics of equality
等于语义
举个例子,数值域A
A={a,b,c},
有等于关系, = is {(a,a), (b,b), (c,c)}
Undecidability of predicate logic
谓词逻辑的不可测性
谓词逻辑中有效性的判定问题是不可定的(由A. Church在1936年证明)
谓词逻辑中的可满足性问题也是不可定的。
可证明性问题也是无法确定的:
这意味着，对于谓词逻辑一个人不能仅仅只靠机械地产生一个给定公式的证明， 实现定理证明或反驳。
也就是一个人仅仅只靠机械规则（程序式判断）不一定能证明或反驳给定的公式
Resolution
前章小结
上面我们已经提到了命题逻辑和谓词逻辑及其证明理论
命题逻辑和逻辑谓词的语义,如命题逻辑的真值表,
谓词的model的满足关系和验证
可靠性和完备性
Soundness and completeness
接下来我们将考虑有效性证明（validity）, 有效性表达为:
我们可以为公式找出一个证明或者检查这个公式是有效的
同等于验证将结论转为非后的不可满足性unsatisfiability
不可满足性（unsatisfiability）：如果谓词公式P对于个体域D上的任何一个解释都取得真值F，则称P在D上是永假的；如果P在每个非空个体域上均永假，则称P永假。谓词公式的永假性又称为不可满足性或不相容性。
这就是Resolution所做的事情
Literal, Clause
说CNF前先明确两个概念
literal: 原子命题p,原子命题p的非
clause: 原子命题的析取组成
下面这个就是clause
析取是幂等的，交换的，结合的，因此一个clause可以被看作是一组不同的literal
clause存在命题的非 可以改写成蕴含形式
CNF
conjunctive normal form , CNF 合取范式
里面每个φ是clause,例子:
CNF公式可以看作是一串析取的合取连接。
如何转为CNF
1.否定词整理
2.修正-重命名绑定变量，以确保唯一性
3.去除量词 (Skolemisation )
4.转化为Clause
1.not符号(后简称not)只能出现在原子命题(后简称p)前面
我们需要展开蕴含->的地方
2.修正-重命名绑定变量，以确保唯一性
限制变量不能和自由变量重名
所有的限制变量必须不同
3.移除存在量词
引入新的常数和函数来替换与存在量化变量相对应的变量, 函数和常数不能在公式中已经存在
分两种情况, 存在在全程量词前面, 直接替换成一个新的常量
存在在全称量词里面,说明这个存在量词受限于全称量词, 见下面的x和w例子
在skolemisfication之后，我们将所有∀-量词移动到最前面或删除它们
4.转为clause
可能会运用到分配律
为什么我们需要CNF
算法的标准化输入
减少冗余和重复
CNF是解析(resolution)过程输入
Ground Resolution
Resolution 解析基于“矛盾证明”的思想
思想1.增加结论的否定作为假设;
思想2.如果结论有效，就会得到矛盾
思想3:消除多余的原子命题
上面证明理论等价于
对于命题逻辑,称为ground resolution, 基础解析,写作下面的公式
Non-Ground Resolution
谓词逻辑的resolution称为Non-Ground Resolution
Non-Ground Resolution通常写法如下:
为了使C1和C2相同，需要统一
θ是为之统一的替换
一个最通用的统一(MGU), 是统一替换θ(最多出现的字母)成θ’
举个例子
分解
C和A表示谓词公式,那么有
隐式分解的解析写法
Unification Algorithm
统一算法公式
举个例子:
第一步找到对应相等的地方, 继续应用等号相同
化简到最后,得到一组集合最简的等式, 继续替换最通用的字母,比如这里的x
继续替换最通用字符,到y
最后到最后不能再替换
General Resolution
通用解析
考虑下面的一阶clauses
A,B,C,D都是原子命题
用θ表示Ak和Dl的mgu,然后resolution x1和x2
将Ak替换位Dl
如果没有两个可统一的原子命题,那么resolution规则是未定义的（undefined）
例子,Example of General Resolution
S表示一系列的clauses
定义S0=S
假设Si已经被构造了
选择两个clauses x1,x2 ∈ Si
以定义Res(x1,x2) （解析 clause）
if Res(x1,x2) = □ , □表示空clause
那么原始的S（Original set）是unsatisfiable,不可满足的
否则,构造Si+1 = Si ∪ Res(x1,x2)
对所有可能的x1和x2,if Si+1=Si, 那么S是可满足的（satisfiable）
Soundness and Completeness of Resolution
完整性: 如果不满足的clause □通过resolution procedure产生,那么原始集合clause是不满足的
完备性: 如果一个clause集合是不满足的,那么空的clause □可以从resolution procedure中生成出来
Logic Programming
A logic program is a set of Horn clauses.
逻辑程序是一组Horn clauses
在逻辑程序设计中，不把clauses写成
而是反过来
如果n=1,称为horn clause,逻辑程序是一组Horn clauses
H:head，A1，……，Am:body
如果n=0，则clause为目标goal
如果n=1,m=0,body为空,那我们得到了一个事实
如 B1 <-，则B1为一个事实
逻辑程序解析
解析过程加一些限制，可以提高计算效率。
计算规则是在goal clause 中选择literal
典型的计算规则:目标中最左边的原子。
搜索规则是一种用于选择clause的规则，用目标clause 中所选的literal进行解析。
典型的搜索规则:clauses按照编写的顺序进行搜索。
逻辑程序解析例子
Prolog程序最基本的形式是一组Horn clauses
给定一个目标，程序的执行和目标通过应用具有以下规则的解析过程来实现:
计算规则:在目标中从左到右选择literal
搜索规则:程序中从上到下选择clauses
用这些规则扩充的解析过程称为SLD-解析
Prolog语法
谓词和函数符号以小写字母开头
变量以大写字母或下划线开头
左箭头由:-操作符表示
点.充当子句分隔符
Example
程序的形式语义
只是一些简述
程序的形式语义
三种不同的风格
操作语义 Operational semantics
指定程序执行步骤
指称语义 Denotational semantics
一个程序被映射到一个值(程序的含义)
代数语义 Algebraic semantics
一组代数定律(方程/方程内)
弗洛伊德-霍尔逻辑Floyd-Hoare Logic 也被称为公理axiomatic语义
一些编程语法例子
语义种类
整数Val ={…，-2，-1,0,1,2，…}
真值Bool = {tt, ff}
State状态
State = Var→Val
Lookup in a state: S X (or S(X))
更新状态
句法范畴的意义
算法表达式
布尔表达式
Operational Semantics
操作语义
思想：用抽象的方法描述语句的执行效果，以免语义依赖于语言实现所用的具体计算机
步骤：
设计一个抽象机及其状态
定义每一个语句对状态的改变（或抽象机指令）
描述机器状态最简单的形式化模型:从合法名字集合到“值”的映射, 如，当x取值3,y取值5,z取值0时的状态为{x->3, y->5, z->0}
形式化定义: S : Name -> Value ∪ {⏊}
在操作方法中，我们感兴趣的是程序是如何执行的
我们将讨论由转换系统(transition systems)指定的结构操作语义(SOS)
Structural Operational Semantics (SOS)
SOS:描述计算的各个步骤是如何发生的
Transition System
定义几个符号
符号定义:
两种典型的transitions:
在一个计算步骤之后，计算还没有完成:
经过一个步骤的计算就完成了:
一些操作语义定义
Denotational Semantics
指称语义
基础：递归函数理论
思想：定义一个语义函数(指称函数)，把程序的意义映射到某种意义清晰的数学对象 (就像用中文解释英文)
步骤：
为每个语言实体定义一个数学对象（语义域）
定义一个将语言实体的实例映射到该数学对象的实例的函数
操作语义用机器的状态来描述意义，指称语义用程序的状态来描述意义，在抽象层面上，这两者是一致的
关键区别：操作语义用某种编程语言编码的算法来定义状态变化，而指称语义用数学函数来定义最终效果，并不关心执行过程。
在指称方法中，我们感兴趣的是执行程序的效果
所谓效果，我们指的是初始态和最终态之间的联系
概念:语义功能
将每个语法构造映射到一个数学对象
特征:必须在成分上定义
操作定义:
指称语义-关系模型
我们可以使用初始和最终状态之间的关系来指定程序执行的效果
一个关系:(αP, P)
给定一个程序P, X是它的变量。
它的语义用谓词P(X,X’)表示
其中X表示初始状态(执行前)下X的值，X '表示最终状态(执行后)下X的值。
Example
程序P: X = X+1
可能的观察集:{… , (1,2), (-2,-1),… }
我们可以使用谓词P: X ’ =X+1来表示集合，其中αP = {X}
Semantic Definitions
顺序组合
条件
Algebraic Semantics
关于程序的代数定律
两个程序具有相同的语义(=)
或者一个程序比另一个好(⊑)
通常被认为是规则的集合
它可以用来把程序转换成正常的形式
可以用于编译、refinement等
Floyd-Hoare Logic
为了构造部分正确性规范的形式证明，需要公理和推理规则
这是Floyd Hoare Logic提供的
Floyd Hoare逻辑中的一个证明是a sequnce of line，每一条线要么是逻辑公理，要么遵循逻辑推理规则从更早的lines开始
现在我们将考虑程序规范和程序验证
Floyd-Hoare逻辑-程序逻辑
命令式程序的数学推理
它是机械化程序验证系统的基础
Hoare Notation
Hoare符号
程序是由赋值、条件等命令构建的
术语“程序”和“命令”是同义词, 前者只用于表示完整算法的命令
术语“语句statement”用于正确性规范中出现的程序变量的条件
简述一下语法规范
符号V, V1，…， Vn表示任意变量
特定变量的例子有X、R、Q等
符号E, E1，…， En代表任意表达式(或术语)
比如X+1等，表示数值(通常是数字)
符号S, S1，…， Sn代表任意命题
如这些条件如X<Y, X=1等，不是真就是假
这些符号C, C1，…Cn代表编程语言的任意命令(commands)
Program Specification 程序规范
命令式程序
执行命令式程序具有改变状态的效果
使用命令式程序
首先建立初始状态
设置一些变量
然后执行程序(将初始状态转换为最终状态)
然后检查最终状态下的变量值，以获得所需的结果
Floyd-Hoare Logic
Axioms and rules for Partial correctness
Hoare引入了以下表示法，称为部分正确性规范，用于指定程序的功能:
{P} C {Q}
C是一种来自编程语言的程序，它的程序被指定
P和Q是C中使用的程序变量的条件
程序变量的条件将使用标准的数学符号和逻辑运算符来编写
部分正确性规范
{P} C {Q} 称为 Partial correctness specification
P 是前条件
Q 是后条件
{P} C {Q} 为T：P条件开始执行程序C，如果C程序终止，结束状态满足Q
这是部分正确性是因为C程序执行不一定会终止
C不终止那么为T
Axioms and rules for Total correctness
完全正确性规范
[P] C [Q]
必须满足以P条件执行程序C，终止条件为Q才为T
完全正确=终止+部分正确
完全正确是最终目标，分开验证部分正确性和终止通常更容易
终止通常很容易显示，主要判断循环是否会死循环，但有时候会很难判断
例子：
引入辅助变量帮我们判断
{X=a ∧ Y=b} R=X; X=Y; Y=R {X=b ∧ Y=a}
执行这个程序会交换X和Y的值
变量a和b，它们不出现在命令中，用于命名程序变量X和Y的初始值
这里的a和b称为辅助变量或者ghost 变量
非正式的约定:
程序变量是大写的
辅助变量为小写
一些例子
{P} C {T}
这个规范适用于每个条件P和每个命令C，因为T总是为真
其中C是上面大括号表示的命令
如果每当C的执行停止时，Q是商，R是除Y除以X得到的余数，则规范为真
它是T的(即使X最初是负的)
例子：
程序必须将Y设置为X和Y的最大值
错误写法：[T] C [Y= max(X,Y)]
这里后置条件" Y = max(X,Y) “表示” Y是最终状态下X和Y的最大值"
正确写法：[X=a ∧ Y=b] C [Y = max (a, b)]
假设Csort是一个命令，用于对数组的前n个元素排序
为了正式规范说明这一点，设SORTED(A, n)表示 A(1)≤A(2)≤…≤A(n)
错误写法：{1≤N} Csort {SORTED(A, N)}
排序(A, N)可以通过简单地将A的前N个元素归零来实现
为了形式化，让PERM(A, A ‘， N)表示
A(1)、A(2)…,A(n)的重排是一个A’(1)A’(2),…,A’(n)
错误写法：{1≤N ∧ A=a} Csort {SORTED(A, N) ∧ PERM(A, a, N)}
Csort 将N设为1，则规范是正确的
正确写法：
{1 ≤ N ∧ A=a ∧ N=n}
Csort
{SORTED(A, N) ∧ PERM(A, a, N) ∧ N=n}
Proof Rules for Partial Correctness
这一节主要是小结和边角料，有点杂
形式证明明确了使用什么公理和推理规则来得出结论
对于那些实际上不合理的程序，很容易提出合理的推理规则
计算机程序的正确性证明通常非常复杂，需要正式的方法来确保其有效性
因此，必须充分明确所使用的推理原则，以便分析其合理性
下面的证明规则构成了我们编程语言的公理化语义（axiomatic semantics ）
三种可能是真的或是假的东西
数学陈述，例如 X+1 = 1+X
部分正确性规范｛P｝C｛Q｝
总正确性规范 [P] C [Q]
算术定律提供了证明整数陈述的方法
逻辑系统提供了确定真相的规则（即证明各种判断）
Floyd Hoare逻辑提供了证明部分正确性规范的规则
⊦ S表示语句S可以被证明
如果S是语句，⊦ S表示S有证据，有证明的语句称为定理
Floyd Hoare Logic的公理由模式指定，这些可以被实例化以获得特定的 partial correctness specifications
Floyd Hoare Logic的推理规则将用以下形式的符号表示
这些假设要么都是Floyd-Hoare逻辑的定理，要么是Floyd Hoare逻辑和数学定理的混合
语法：SKIP
语义：状态不变
SKIP公理
⊦ {P} SKIP {P}
P可以用任意谓词演算公式（语句）实例化
例子：
⊦ {Y=2} SKIP {Y=2}
⊦ {T} SKIP {T}
⊦ {R=X+Y×Q} SKIP {R=X+Y×Q}
语法：V=E
语义：将E的值赋给变量V来改变状态
Example: X = X+1
执行赋值后的变量V的值等于执行前状态下表达式E的值
如果在分配之后语句P为真，那么用E代替P中的V得到的语句在执行之前必须为真 P[E/V]
postcondition中的每个关于V的语句都必须对应于precondition中的一个关于E的语句
在初始状态下，V具有即将丢失的值
Assignment 公理
⊦ {P[E/V]} V = E {P}
其中V是任何变量，E是任何表达式，P是任何语句，符号P[E/V]表示用术语E替换语句P中变量V的所有出现的结果。
例子
⊦ {Y=2} X = 2 {Y=X}
⊦ {X+1=n+1} X = X+1 {X=n+1}
⊦ {E=E} X = E {X=E} (if X does not occur in E)
赋值的Backwards谬论
许多人认为赋值公理是“向后的”
一个常见的错误直觉是 ⊦ { P } V = E { P[V/E] }，其中P[V/E]表示用V代替P中的E的结果
这是错误的，如⊦ {X=0} X=1 {X=0}
P： X=0
V：X， 1： E
P[V/E] => X 换 1，但是1不出现在（X=0）
另一个错误的直觉是⊦ { P } V = E { P[E/V] }
同样的例子：⊦ {X=0} X=1 {1=0}
P：X=0
V：X，E：1
P[E/V] ： P中X换成1 => 1=0， 显然也是错误的
有效性
关于赋值公理很容易有错误的直觉，这一事实表明，有严格的方法来建立公理和规则的有效性是很重要的。
可以为我们的编程语言提供形式语义
然后证明Floyd Hoare逻辑的公理和推理规则是正确的
增加我们对公理和规则的信心，使我们相信形式语义的正确性
Blocks
Syntax: BEGIN VAR V1; … VAR Vn; C END
语义：执行命令C，然后将V1、…、Vn的值恢复为输入块之前的值
未指定块内V1、…、Vn的初始值
Example: BEGIN VAR R; R = X; X = Y; Y = R END
使用R作为临时变量交换X和Y的值
该命令对var R没有副作用
带有副作用的表达式
赋值公理的有效性取决于没有副作用的表达式
假设我们的语言被扩展到包含“块表达式” ，BEGIN Y = 1; 2 END，该表达式的值为2，但其求值也会通过在其中存储1而对变量Y产生“副作用”
如果赋值公理适用于块表达式，那么它可以用于推导
⊦ {Y=0} X = BEGIN Y = 1; 2 END {Y=0}
因为（Y=0）[E/X]=（Y=0），X未出现在（Y=0）
这显然是错误的，Y赋值了1
Sequences
Syntax: C1; …; Cn
语义：命令C1、…、Cn按该顺序执行
Example: R = X; X = Y; Y=R
使用R作为临时变量交换X和Y的值
该命令的副作用是将变量R的值更改为变量X的旧值
Precondition Strengthening
⊦S1,…,⊦Sn可以推出⊦S
使用此符号，前提条件强化规则为
注意，这两种假设是不同的判断
eg1:
⊦ X=n → X+1=n+1
⊦ {X+1=n+1} X = X+1 {X=n+1}
前提强化
⊦ {X=n} X = X+1 {X=n+1}
其中n是辅助(ghost var)变量
eg2:
⊦ T → E=E
⊦ {E=E} X = E {X=E}
⊦ {T} X = E {X=E}
Postcondition Weakening
正如前面的规则是要加强部分正确性规范的前提条件一样，下面的规则允许我们削弱后条件
综合eg:
Precondition Strengthening和Postcondition Weakening规则有时被称为后果规则（rules of consequence
）
Sequencing Rule
规则实现了序列C1; C2的部分正确性规范
例子：
(1) ⊦ {X=x ∧ Y=y} R = X {R=x ∧ Y=y}
(2) ⊦ {R=x ∧ Y=y} X = Y {R=x ∧ X=y}
(3) ⊦ {R=x ∧ X=y} Y = R {Y=x ∧ X=y}
由(1)和(2),
(4) ⊦ {X=x ∧ Y=y} R = X; X = Y {R=x ∧ X=y}
由(4) and (3)
⊦ {X=x ∧ Y=y} R = X; X = Y; Y = R {Y=x ∧ X=y}
Block Rule
注意，块规则被视为包括没有局部变量的情况（“n=0”的情况）
Side Condition
Side Condition 边条件
没有变量V1、…、Vn出现在P或Q中的句法条件是边条件的一个例子
如果没有这个条件，规则是无效的，如下面的示例所示
⊦ {X=x ∧ Y=y} R = X; X = Y; Y=R {Y=x ∧ X=y}
⊦ {X=x ∧ Y=y} BEGIN VAR R; R = X; X = Y; Y=R END {Y=x ∧ X=y}
因为R没有出现在P和Q
⊦ {X=x ∧ Y=y} R = X; X = Y {R=x ∧ X=y}
不能推出
⊦ {X=x ∧ Y=y} BEGIN VAR R; R = X; X = Y END {R=x ∧ X=y}
因为R出现在Q
Conditionals Rule
Syntax: IF S THEN C1 ELSE C2
如果语句S在当前状态下为真，则执行C1
如果S为假，则执行C2。
Example: IF X<Y THEN MAX=Y ELSE MAX=X
var MAX的值被设置为X和Y的值的最大值。
One-armed conditional is defined by
IF S THEN C
F S THEN C ELSE SKIP
eg:
⊦ { T ∧ X < Y } MAX = Y { MAX = max(X, Y) }
⊦ { T ∧ ¬(X < Y) } MAX = X { MAX = max(X, Y) }
可以推得到：
⊦ {T} IF X < Y THEN MAX = Y ELSE MAX = X { MAX=max(X,Y) }
While Rule
Syntax: WHILE S DO C
如果语句S在当前状态下为真，则执行C并重复WHILE命令
如果S为假，则不执行任何操作
因此重复执行C直到S的值变为假，如果S永远不会变为假，那么命令的执行永远不会终止
Example: WHILE ¬(X=0) DO X = X-2
Invariants
⊦{P ∧ S} C {P}
当S成立时，P是C的不变量
WHILE规则规定
如果每当测试条件成立时，P是WHILE命令体的不变量，则P是整个WHILE命令的不变量
换句话说，如果执行C一次保留了P的真值，那么执行C任意次数也会保留P的真值
WHILE规则还表示这样一个事实，即WHILE命令终止后，测试必须为false，否则，它不会终止
例子：
⊦ {X=R+Y×Q ∧ Y≤R} BEGIN R = R-Y; Q = Q+1 END {X=R+Y×Q}
因此，根据WHILE规则，令P=‘X=R+Y×Q’
⊦ {X=R+Y×Q}
WHILE Y≤R DO
BEGIN R = R-Y; Q = Q+1 END
{X=R+Y×Q ∧ ¬(Y ≤ R)}
我们可以很容易推导：
⊦ {T} R = X; Q = 0 {X=R+Y×Q}
因此，通过排序规则和后条件弱化
⊦ {T}
R = X;
Q = 0;
WHILE Y ≤ R DO
BEGIN R = R-Y; Q = Q+1 END
{ R<Y ∧ X=R+Y×Q }
Making Proofs Easier
先前我们知道了
用于指定程序执行的符号
证明其符合规范的方法
今天我们来看看寻找证据和组织证据的方法：
finding invariants
derived rules
backwards proofs
annotating programs prior to proof
然后，将展示如何自动化程序验证
finding invariants
如何找到不变量？
识别与循环相关的变量或变量
观察前n次迭代中这些变量的输出
从这些输出中引入不变量或解决这些输出上的约束
验证不变量的有效性；如果没有，请重新开始
分析事实：
最初必须成立
跳出循环时，它必须确定结果
每种东西必须保持不变
想想循环是如何工作的——不变量：
到目前为止做了什么
以及有待完成的工作
给出所需的结果
Example
{
X=n ∧ Y=1}
WHILE X != 0 DO
BEGIN Y = Y×X; X = X-1 END
{
X=0 ∧ Y=n!}
initially X=n and Y=1
finally X=0 and Y=n!
每次循环：Y增加而X减少
loop works：
Y持有迄今为止的结果
X!还有待计算
n!是期望的结果
=>
不变：X的减少与Y的增加相结合
The invariant is X!×Y=n!
另一个eg
{X=0 ∧ Y=1}
WHILE X<N DO
BEGIN X = X+1; Y = Y×X END
{Y=N!}
An invariant is Y=X!
最终需要Y=N！，但WHILE规则仅给出¬（X<N）
The invariant needed: Y=X! ∧ X≤N
At end: X≤N ∧ ¬(X<N) → X=N
通常需要加强不变量以使其发挥作用,
typical to add stuff to ‘carry along’ like X≤N
Conjunction and Disjunction Rule
这些规则对于将证明拆分为独立的bits很有用
证明⊦{P} C｛Q1∧Q2}
通过分别证明
⊦{P} C{Q1}和⊦{P} C｛Q2｝
即可
理论上它们是多余的，但是，在实践中很有用
Derived Assignment Rule
一个结合了两个步骤的规则
assignment axiom
precondition strengthening
我们如何知道这与Assignment Axiom一致？
它是否比分配公理更强大（即证明更强大）？
我们可以导出规则，而不是将其作为新的原语添加
Rules for Consequence
与赋值示例中一样，所需的前置条件和后置条件很少采用原语规则所要求的形式
理想情况下，对于每个命令，我们都需要一个形式规则
其中P和Q是不同的元变量。
有些规则已经采用这种形式，例如sequencing rule
我们可以使用后果规则为其他命令导出这种形式的规则
Derived Skip Rule
Derived While Rule
这源于While规则和后果法则
例子
⊦ R=X ∧ Q=0 → X=R+Y×Q
⊦ {X=R+Y×Q ∧ Y≤R} R = R-Y; Q = Q+1 {X=R+Y×Q}
⊦ X=R+Y×Q ∧ ¬(Y≤R) → X=R+Y×Q ∧ ¬(Y≤R)
Then
⊦ {
R=X ∧ Q=0 }
WHILE Y≤R DO
BEGIN R = R-Y; Q = Q+1 END
{
X=R+Y×Q ∧ ¬(Y≤R)}
Derived Sequencing Rule
(i) ⊦ {X=x ∧ Y=y} R = X {R=x ∧ Y=y}
(ii) ⊦ {R=x ∧ Y=y} X = Y {R=x ∧ X=y}
(iii) ⊦ {R=x ∧ X=y} Y = R {Y=x ∧ X=y}
直接推出
⊦ {X=x ∧ Y=y} R = X; X = Y; Y= R {Y=x ∧ X=y}
Derived Block Rule
(i) ⊦ {X=x ∧ Y=y} R = X {R=x ∧ Y=y}
(ii) ⊦ {R=x ∧ Y=y} X = Y {R=x ∧ X=y}
(iii) ⊦{R=x ∧ X=y} Y = R {Y=x ∧ X=y}
=>
⊦ {X=x ∧ Y=y}
BEGIN VAR R; R = X; X = Y; Y= R END
{Y=x ∧ X=y}
Sequenced Assignment
⊦ {X=x ∧ Y=y} R = X {R=x ∧ Y=y}
=>
⊦ {X=x ∧ Y=y} R = X; X = Y {R=x ∧ X=y}
Forward and Backward Proof
例如，为了证明⊦{P} C1；C2｛Q｝
首次证明⊦{P} C1{R}和⊦ {R} C2｛Q｝
然后推断⊦ {P} C1；C2{Q}排序规则
这种方法称为前向证明
通过规则从公理走向结论
前向证明的问题在于，要想达到你想要的目标，你需要证明什么并不总是容易的
倒行逆施更为自然
从｛P｝C｛Q｝的目标开始
生成子目标，直到问题解决
要证
{X=x ∧ Y=y} R = X; X = Y; Y= R {Y=x ∧ X=y}
子目标
{X=x ∧ Y=y} R = X; X = Y {R=x ∧ X=y}
子目标推导
{X=x ∧ Y=y} R = X {R=x ∧ Y=y}
这显然遵循赋值公理
前向证据说
我们已经证明了⊦ S1，我们可以推断⊦ S2
向后证明说
证明⊦ S2足以证明⊦ S1
通过向后证明证明了一个定理，提取向前证明是很简单的
例子：
To prove
⊦ {T}
R = X;
Q = 0;
WHILE Y≤R DO
BEGIN R = R-Y; Q = Q+1 END
{X=R+Y×Q ∧ R<Y}
By the sequencing rule, it is sufficient to prove
(i) ⊦ {T} R = X; Q = 0 {R=X ∧ Q=0}
(ii) ⊦ {R=X ∧ Q=0}
WHILE Y≤R DO
BEGIN R = R-Y; Q = Q+1 END
{X=R+Y×Q ∧ R<Y}
To prove (i), by the sequenced assignment axiom, we must prove
(iii) ⊦ {T} R = X {R=X ∧ 0=0}
To prove (iii), by the derived assignment rule, we must prove:
⊦ T → X=X ∧ 0=0
This is true by pure logic.
To prove (ii), by the derived while rule, we must prove:
(iv) ⊦ R=X ∧ Q=0 → (X=R+Y×Q)
(v) ⊦ X=R+Y×Q ∧ ¬(Y≤R) → (X=R+Y×Q ∧ R<Y)
(vi)⊦{X=R+Y×Q ∧ Y≤R} BEGIN R = R-Y; Q = Q+1 END {X=R+Y×Q}
(iv) and (v) are proved by arithmetic
To prove (vi), by the block rule, we must prove:
(vii) {X=R+Y×Q ∧ Y ≤ R} R = R-Y; Q = Q+1 {X=R+Y×Q}
To prove (vii), by the sequenced assignment rule, we must prove:
(viii) {X=R+Y×Q ∧ Y ≤ R} R = R-Y {X=R+Y×(Q+1)}
To prove (viii), by the derived assignment rule, we must prove:
(ix) X=R+Y×Q ∧ Y ≤ R → X=R-Y+Y×(Q+1)
This is true by arithmetic.
注释
排序规则引入了一个新的语句R
要应用此规则，需要提出一个合适的语句R
如果第二个命令是赋值，则可以使用顺序赋值规则，然后有效地填充值
同样，要使用派生的While规则，我们必须发明一个不变量。
在开始证明并用它们注释程序之前，思考这些陈述是很有帮助的
当你需要证据时，这些信息就可用了
这可以帮助你避免陷入细节
每当控件到达该点时，注释应为true
例如，以下程序可以在指定的点处进行注释。
⊦ {T}
R = X;
Q = 0; {R=X ∧ Q=0} ← P1
WHILE Y ≤ R DO {X=R+Y×Q } ← P2
BEGIN R = R-Y; Q = Q+1 END
{X=R+Y×Q ∧ R<Y}
Mechanising Program Verification
机械化程序验证将描述一个简单程序验证器的架构
根据Floyd Hoare Logic的规则
很明显即使正在验证的程序很简单，证明也很长，很枯燥
许多棘手的小细节需要处理，其中许多都是微不足道的，例如。
⊦ （R=X∧ Q=0）→ （X=R+Y X Q）
目标：在Floyd Hoare逻辑中自动生成形式证明的例程
不幸的是，逻辑学家已经表明，原则上不可能设计一个决策程序来自动决定任意数学陈述的真假
一般决策程序的不存在仅仅表明人们不可能希望自动证明一切
在实践中，很有可能建立一个将验证的枯燥和常规方面机械化的系统
输入：用数学语句注释的部分正确性规范
这些注释描述了变量之间的关系
系统生成一组称为验证条件（VC）的纯数学语句
如果验证条件是可证明的，那么原始规范可以从Floyd Hoare逻辑的公理和规则中推导出来
验证条件被传递给定理证明程序，该程序试图自动证明它们
如果失败，将向用户寻求建议
Verification conditions
用verifier证明Hoare {P}C{Q}的三个步骤
1 通过在程序C中插入语句（称为断言）来对程序C进行注释，这些语句表示要在各个中间点保持的条件,这一步很棘手，需要对程序工作原理的充分理解，自动化是一个人工智能问题
2 然后根据注释的规范生成一组称为验证条件（简称VC）的逻辑语句
这完全是机械的，很容易由程序完成
3 验证条件得到证明
需要自动定理证明（即更多的人工智能）
为了改进自动验证，可以尝试
减少所需注释的数量和复杂性
提高定理证明器的能力
仍然是一个非常活跃的研究领域
验证条件的有效性
可以看出
如果能够证明
{P}C{Q}
then
⊦ {P}C{Q}
步骤2将验证问题转换为常规数学问题
该过程将通过以下内容进行说明：
⊦ {T}
R = X;
Q = 0;
WHILE Y≤R DO
BEGIN R = R-Y; Q = Q+1 END
{X=R+Y×Q ∧ R<Y}
步骤1是插入注释P1和P2
⊦ {T}
R = X;
Q = 0; {R=X ∧ Q=0} ← P1
WHILE Y≤R DO {X=R+Y×Q } ← P2
BEGIN R = R-Y; Q = Q+1 END
{X=R+Y×Q ∧ R<Y}
注释P1和P2表示每当控制到达它们时要保持的条件
控制仅到达P1放置一次的点
每次执行WHILE主体时，它达到P2， P2是WHILE命令的不变量
每当发生这种情况时，X=R+Y×Q成立，即使R和Q的值不同
步骤2将生成以下四个验证条件
T → (X=X ∧ 0=0)
(R=X ∧ Q=0) → X=R+Y×Q
X=R+Y×Q ∧ Y≤R → X=R-Y+Y×(Q+1)
X=R+Y×Q ∧ ¬(Y ≤ R) → (X=R+Y×Q ∧ R<Y)
步骤3包括证明四个验证条件
易于使用现代自动定理证明器
Annotation of Commands
带注释的命令是一个内嵌有statements （assertions）的命令
如果在以下位置插入了语句，则会正确注释命令
（i） 在 not an assignment command C1、C2、…、Cn中的每个命令Ci（其中i＞1）之前
（ii）WHILE（和FOR）命令中单词DO之后
插入的断言应该表示每当控制到达断言发生的点时期望保持的条件
Annotation of Specifications
正确注释的规范是规范｛P｝C｛Q｝，其中C是正确注释的命令
例子：为了正确注释，断言应该位于下面规范的第1点和第2点
⊦ {X=n}
BEGIN
Y = 1; ← 1
WHILE X != 0 DO ← 2
BEGIN Y = Y×X; X = X-1 END
END
{X=0 ∧ Y=n!}
合适的陈述如下
at 1: {Y=1 ∧ X=n}
at 2: {Y×X!=n!}
Verification Condition Generation
根据注释规范 {P}C{Q} 生成的验证条件，考虑C的各种可能性来描述验证条件
我们将使用以下形式的规则逐个命令地描述它：
The VCs for C(C1,C2) are
vc1 … vcn
together with the VCs for C1 and those for C2
每个VC规则将对应于逻辑的原语或派生规则
VC生成程序
生成验证条件的算法是基于命令结构的递归算法
刚才给出的规则对应于递归程序子句：
VC(C(C1,C2) ) = [vc1 … vcn] @ (VC C1) @ (VC C2)
选择这些规则，以便在每种情况下仅应用一个VC规则
应用它们完全是机械的
选择基于语法
每种情况下只有一条规则适用，因此VC生成是确定性的