随机多臂赌博机 (Stochastic Multi-armed Bandits)：置信上界算法 (Upper Confidence Bound)

前言

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本篇文章介绍一种针对「Stochastic Multi-armed Bandits (MAB)」问题的算法，即「Upper Confidence Bound (UCB)」，其通过估计摇臂的奖励区间，实现了探索与利用之间的平衡。

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Stochastic Multi-armed Bandits

假设现在有一个赌博机，其上共有 $K$ 个选项，即 $K$ 个摇臂，玩家每轮只能选择拉动一个摇臂，每次拉动后，会得到一个奖励，MAB 关心的问题为「如何最大化玩家的收益」。

想要解决上述问题，必须要细化整个问题的设置。

在 Stochastic MAB（随机的 MAB）中，每一个摇臂在各轮中的奖励是独立同分布的，即摇臂 $i$ 在各轮中的奖励均从分布 $P_i$ 中采样得到，将第 $i$ 个摇臂的奖励均值记为 ${\mu }_i$。

假设一共有 $T$ 轮，玩家每轮选择摇臂 $i_t$，则我们希望设计一个算法来最小化下述遗憾 (regret)：
$$\text{regret}=T\underset{i\in [K]}{\max }{\mu }_i-\sum _{t=1}^T{\mu }_{i_t}.$$

除上述介绍的 Stochastic MAB 外，MAB 问题还有下述多种类型：

• Adversarial MAB（对抗的 MAB）：环境会发生变化，即每个摇臂的分布会发生变化；
  • Oblivious Adversary Setting（健忘的）：分布的变化会被事先定义好，不会随玩家的选择发生变化（算法 Exp3 在此场景取得 $O(\sqrt{T})$ 遗憾界）；
  • Nonoblivious Adversary Setting（非健忘的）：摇臂第 $t$ 轮的分布可以依赖于玩家前 $t-1$ 轮的选择；
• Contextual MAB：每个摇臂在每一轮的奖励和该轮玩家的特征（即 context）有关，常出现于在线广告推送场景中；
• Nonstationary Stochastic MAB：可以视作 Stochastic 与 Adversarial 之间的折中，即每个摇臂的分布依然会发生变化，但相邻轮之间，分布的期望值变化量，会被 Variation Budget $V_T\ge 0$ 约束住（${\mu }_i^t$ 表示第 $i$ 个摇臂在第 $t$ 轮时的期望奖励）：
  $$\sum _{t=1}^{T-1}\underset{i\in [K]}{\sup }\left|{\mu }_i^{t+1}-{\mu }_i^t\right|\le V_T.$$

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Upper Confidence Bound

在 Stochastic MAB 中，玩家需要对「探索」与「利用」两方面进行权衡，其中「探索」指尝试更多的摇臂，而「利用」则为选择可能有更多收益的摇臂。

为解决「探索」和「利用」的折中，Upper Confidence Bound (UCB) 算法得到了提出，其思想是「为每一个摇臂 $i$ 维持一个置信上界 ${\hat{\mu }}_i$，使其高概率满足均值 ${\mu }_i\le {\hat{\mu }}_i$，随后算法每次选择具有最大置信上界 ${\hat{\mu }}_i$ 的摇臂，进而自动实现探索和利用之间的折中」。

考虑 Chernoff-Hoeffding Bound，即：

• 假设摇臂 $i$ 共摇了 $n_i$ 次，对应 $n_i$ 个独立随机变量 $x_t\in [0,1]$，$t\in [n_i]$，令 ${\bar{\mu }}_i=\frac{1}{n_i}{\sum }_{t=1}^{n_i}{x}_t$，则有：
  $$P(\left|{\bar{\mu }}_i-{\mu }_i\right|\le ϵ)\ge 1-2e^{-2n_i{ϵ}^2}.$$

当 $ϵ=\sqrt{2\ln \alpha /n_i}$ 时，可以得到：
$$P\left(\left|{\bar{\mu }}_i-{\mu }_i\right|\le \sqrt{\frac{2\ln \alpha }{n_i}}\right)\ge 1-\frac{2}{{\alpha }^4},$$

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即以至少 $1-2{\alpha }^{-4}$ 的概率有 ${\mu }_i\in [{\bar{\mu }}_i-\sqrt{2\ln \alpha /n_i},{\bar{\mu }}_i+\sqrt{2\ln \alpha /n_i}]$，因此将置信上界定义为：
$${\hat{\mu }}_i={\bar{\mu }}_i+\sqrt{\frac{2\ln \alpha }{n_i}}.$$

由此可知，置信上界由样本均值 ${\bar{\mu }}_i$ 与区间宽度 $\sqrt{2\ln \alpha /n_i}$ 组成，其中样本均值为过去的经验，对应着利用；区间宽度为经验的不确定性，对应着探索。因此每一轮根据置信上界来选择摇臂，即可自动实现探索和利用之间的折中。

对于 Stochastic MAB 问题，UCB 算法在期望意义上的遗憾界为 $O(K\log T)$。

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参考资料

• 周志华，王魏，高尉，张利军. (2020). 机器学习理论导引. 机械工业出版社, 北京.