深入理解梅尔刻度、梅尔滤波器组和梅尔时频谱图

前情提要

短时傅里叶变换公式
$$S(m,k)=\sum _{n=1}^{N-1}x(n+mH)w(n)e^{-i2\pi \frac{k}{N}n}$$
其中，m是当前滤波器的序号，表征了当前的时间段，k是当前频率的序号，表征了当前正在对哪一频率的 $e^{-i2\pi \frac{k}{N}n}$ 信号，寻找最佳的振幅和初相，w(n)是窗函数。更多关于短时傅里叶变换的知识，请参考深入理解傅里叶变换（四）。

本文要讲解的梅尔时频谱图，需要有时频谱图的知识，也可参考深入理解傅里叶变换（四）。

梅尔刻度

人耳对音高（pitch）的感知是非线性的，当声音频率线性增加时，我们不会感觉音高也是线性增加的。为了将人耳对音高的线性感知刻画出来，我们需要梅尔刻度，梅尔刻度本质上是关于频率的函数，将赫兹（Hz）映射为梅尔（mel）：
$$m=2595lo{g}_{10}(1+\frac{f}{700})=1127ln(1+\frac{f}{700})$$
从公式可见，对数部分可以以自然对数为底数，也可以以10为底数，不同的底数对应不同的系数，要确定当前的系数，只需要代入(1000Hz, 1000mel)即可。

我们不仅好奇，既然人耳对音高的感知是非线性的，为什么梅尔刻度会过(1000Hz, 1000mel)这个点呢？原因是人耳对低频部分的感知是近似线性的，这个低频部分大概是0Hz~1000Hz，因此梅尔刻度也过(0Hz, 0mel)点，梅尔刻度图上也可看出该低频部分是近似线性的：

从梅尔刻度到赫兹的映射如下：
$$f=700(10^{\frac{m}{2595}}-1)=700(e^{\frac{m}{1127}}-1)$$

现在，当梅尔刻度线性增加，赫兹呈现对数增加，人耳对这样变化的音高的感知是线性的。

梅尔时频谱图

梅尔时频谱图（Mel spectrogram）是同时考虑了三个要素，而绘制出来的：

• 对一段音频的时、频、谱信息同时呈现
  时频谱图就是干这个的。
• 对响度（loudness）的度量，要与人耳对响度的感知线性相关
  可以将振幅的平方转成分贝来实现。
• 对音高的度量，要与人耳对音高的感知线性相关
  这就需要利用梅尔刻度得到梅尔滤波器组，对原始的时频谱图进行滤波来实现了。

梅尔滤波器组

使用梅尔滤波器组的步骤有三：

1. 选定滤波器组的个数 $n_{mels}$
   个数取决于我们要研究的问题，常用40、60、90、128，现在就取一个小一点的数：6，方便读图。
2. 建立滤波器组
   分为4个步骤：
   1. 确定要进行滤波的频率范围，即选取最小频率 $f_l$ 和最大频率 $f_h$ ，通常最小频率选为0，最大频率选为奈奎斯特频率$\frac{s_r}{2}$，然后把这两个频率值转为梅尔刻度 $m_l$ 和 $m_h$ 。
   2. 将 $m_l$ 和 $m_h$ 连成一条线，然后在这条线上，均等地取 $n_{mels}$ 个点，得到序列 { m 1 , m 2 , . . . , m n m e l s } \left \{ m_1,m_2,...,m_{n_{mels}} \right \} { m1​,m2​,...,mnmels​​}。由于此时采用了梅尔刻度，所以人耳对这些点对应的音高是线性感知的。
   3. 把这些点都转成赫兹，得到序列 { f 1 , f 2 , . . . , f n m e l s } \left \{ f_1,f_2,...,f_{n_{mels}} \right \} { f1​,f2​,...,fnmels​​}。注意在转成赫兹时，需要对这些点进行舍入，使这些点在 $\left\{0,\frac{1}{n_{fft}}{s}_r,\frac{2}{n_{fft}}{s}_r,...,\frac{n_{fft}/2}{n_{fft}}{s}_r\right\}$ 一共 $(1+\frac{n_{fft}}{2})$ 个频率上，能一一对应。用数学语言表述：
      $$\forall f_i,f_i\in \left\{0,\frac{1}{n_{fft}}{s}_r,\frac{2}{n_{fft}}{s}_r,...,\frac{n_{fft}/2}{n_{fft}}{s}_r\right\},i=1,2,...,n_{mels}$$
   4. 根据序列 { f 1 , f 2 , . . . , f n m e l s } \left \{ f_1,f_2,...,f_{n_{mels}} \right \} { f1​,f2​,...,fnmels​​} 绘制下图：
      
      图中共有 $n_{mels}$ 个顶点，这些顶点的横坐标为 { f 1 , f 2 , . . . , f n m e l s } \left \{ f_1,f_2,...,f_{n_{mels}} \right \} { f1​,f2​,...,fnmels​​}，纵坐标都为1，第一个三角形的左顶点为 $f_l$，上顶点为 $f_1$，右顶点为 $f_2$；第二个三角形的左顶点为 $f_1$，上顶点为 $f_2$，右顶点为 $f_3$，以此类推，直至最后个三角形的左顶点为 $f_{mels-1}$，上顶点为 $f_{mels}$，右顶点为 $f_h$。
      三角形的纵坐标的意义是：对应横坐标频率的权重值。梅尔滤波器组可表示为一个二维矩阵，shape为 $[n_{mels},1+\frac{n_{fft}}{2}]$。
      注意，一个梅尔滤波器，对于三角形外的频率也是有权重的，只不过都为0。
3. 对时频谱图滤波
   时频谱图也可以表示为一个二维矩阵，shape为 $[1+\frac{n_{fft}}{2},frames]$，如果还记得线性代数的话，记梅尔滤波器组为M，时频谱图为Y，那么滤波的计算结果就是M和Y的矩阵乘积，即第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相同时，才能进行的运算，运算结果的shape为【第一个矩阵的行数，第二个矩阵的列数】，即 $[n_{mels},frames]$。

演示

读取一段音频，使用短时傅里叶变换，得到普通的时频谱图，然后绘制梅尔滤波器组，值得注意的是，librosa的梅尔滤波器组函数还带有权重归一化功能，即对一个三角形滤波器的每个权重，都除以该三角形的面积，如果不希望进行该归一化，设置参数 norm=None，即 melfb = librosa.filters.mel(sr=sr, n_fft=N_FFT, n_mels=N_MELS, norm=None)。

import librosa
import librosa.display
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

if "__main__" == __name__:

    debussy_path = r"16 - Extracting Spectrograms from Audio with Python\audio\debussy.wav"
    signal, sr = librosa.load(path=debussy_path, sr=16000)
    N_FFT = 512
    N_MELS = 6

    stft = librosa.stft(y=signal,
                        n_fft=N_FFT,
                        hop_length=sr // 100,
                        win_length=sr // 40)
    freq = librosa.fft_frequencies(sr=sr, n_fft=N_FFT)
    power, phase = librosa.magphase(stft, power=2)

    melfb = librosa.filters.mel(sr=sr, n_fft=N_FFT, n_mels=N_MELS)
    plt.plot(freq, np.transpose(melfb))

    plt.show()

直接矩阵乘积，然后将振幅的平方转为分贝，绘制梅尔时频谱图，注意一定要先滤波，再转分贝。

import librosa
import matplotlib.pyplot as plt
import librosa.display
import numpy as np

if "__main__" == __name__:
    # m = np.linspace(0, 2600, 2600 + 1)
    # f = 700 * (np.exp(m / 1127) - 1)
    # plt.plot(m, f)
    # plt.xlabel("Mel Frequency(mel)")
    # plt.ylabel("Frequency(Hz)")

    debussy_path = r"16 - Extracting Spectrograms from Audio with Python\audio\debussy.wav"
    signal, sr = librosa.load(path=debussy_path, sr=16000)
    N_FFT = 512
    N_MELS = 6

    stft = librosa.stft(y=signal,
                        n_fft=N_FFT,
                        hop_length=sr // 100,
                        win_length=sr // 40)
    freq = librosa.fft_frequencies(sr=sr, n_fft=N_FFT)
    power, phase = librosa.magphase(stft, power=2)

    melfb = librosa.filters.mel(sr=sr, n_fft=N_FFT, n_mels=N_MELS)
    # plt.plot(freq, np.transpose(melfb))
    melspec = np.matmul(melfb, power)

    melspec_db = librosa.power_to_db(melspec)
    # plt.subplot(2, 1, 1)
    librosa.display.specshow(melspec_db,
                             sr=sr,
                             n_fft=N_FFT,
                             hop_length=sr // 100,
                             win_length=sr // 40,
                             x_axis="s",
                             y_axis="mel")
    plt.colorbar(format="%+2.f db")

    plt.show()

自己按照理论绘制的结果与librosa直接绘制的结果一致：

import librosa
import matplotlib.pyplot as plt
import librosa.display
import numpy as np

if "__main__" == __name__:
    # m = np.linspace(0, 2600, 2600 + 1)
    # f = 700 * (np.exp(m / 1127) - 1)
    # plt.plot(m, f)
    # plt.xlabel("Mel Frequency(mel)")
    # plt.ylabel("Frequency(Hz)")

    debussy_path = r"16 - Extracting Spectrograms from Audio with Python\audio\debussy.wav"
    signal, sr = librosa.load(path=debussy_path, sr=16000)
    N_FFT = 512
    N_MELS = 6

    stft = librosa.stft(y=signal,
                        n_fft=N_FFT,
                        hop_length=sr // 100,
                        win_length=sr // 40)
    freq = librosa.fft_frequencies(sr=sr, n_fft=N_FFT)
    power, phase = librosa.magphase(stft, power=2)

    melfb = librosa.filters.mel(sr=sr, n_fft=N_FFT, n_mels=N_MELS)
    # plt.plot(freq, np.transpose(melfb))
    melspec = np.matmul(melfb, power)

    melspec_db = librosa.power_to_db(melspec)
    plt.subplot(2, 1, 1)
    librosa.display.specshow(melspec_db,
                             sr=sr,
                             n_fft=N_FFT,
                             hop_length=sr // 100,
                             win_length=sr // 40,
                             x_axis="s",
                             y_axis="mel")
    plt.colorbar(format="%+2.f db")

    S = librosa.feature.melspectrogram(y=signal,
                                       sr=sr,
                                       n_fft=N_FFT,
                                       hop_length=sr // 100,
                                       win_length=sr // 40,
                                       n_mels=N_MELS)
    S_dB = librosa.power_to_db(S)
    plt.subplot(2, 1, 2)
    librosa.display.specshow(S_dB,
                             sr=sr,
                             n_fft=N_FFT,
                             hop_length=sr // 100,
                             win_length=sr // 40,
                             x_axis="s",
                             y_axis="mel")
    plt.colorbar(format="%+2.f db")

    np.testing.assert_array_almost_equal(S_dB, melspec_db)

    plt.show()

梅尔时频谱图是广为使用的音频特征。

下一节讲MFCC，梅尔频率倒谱系数(Mel Frequency Cepstrum Coefficient, MFCC)。