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1、二叉搜索树
1.1 二叉搜索树概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
1.2 二叉搜索树操作
- 二叉搜索树的查找 a、从根开始比较，查找，比根大则往右边走继续查找，比根小则往左边走继续查找。 b、最多查找高度次，走到到空，还没找到，那么这个值不存在。
- 二叉搜索树的插入 插入的具体过程如下： a. 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针 b. 树不空，按二叉搜索树性质查找对应的插入位置，插入新节点
- 3. 二叉搜索树的删除 首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回, 否则要删除的结点可能分下面四种情况： a. 要删除的结点无孩子结点 b. 要删除的结点只有左孩子结点 c. 要删除的结点只有右孩子结点 d. 要删除的结点有左、右孩子结点 看起来有待删除节点有4中情况，实际情况a可以与情况b或者c合并起来，因此真正的删除过程 如下： 情况b：删除该结点且让被删除节点的父结点指向被删除节点的左孩子结点--直接删除 情况c：删除该结点且让被删除节点的父结点指向被删除结点的右孩子结点--直接删除 情况d：寻找右子树中最小的节点，用它的值填补到被删除节点中，再来处理该结点的删除问题--替换法删除
2. 二叉搜索树的实现
2.1二叉搜索树的结构
template<class K>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
BSTreeNode<K>* _left;
BSTreeNode<K>* _right;
K _key;
};
template<class K>
class BSTree
{
public:
typedef BSTreeNode<K> Node;
private:
Node* _root = nullptr;
};2.2 二叉搜索树的插入
这里需要注意的是插入的节点与父节点之间链接的问题，因为子节点无法向上找到父节点，所以需要提前定义一个父节点的指针，跟着一步一步向下走。找到位置后插入新节点，再与父节点链接，链接的时候需要注意，因为我们并不知道插入的节点是父亲的左边还是右边，所以需要一个if 帮我们判断是左还是右。注意二叉搜索树中不能插入相同的值！而且插入的顺序不同还可能导致树里的节点位置不同，还有可能会造成树向一侧偏移，如下图：
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key > key)
parent->_left = cur;
else
parent->_right = cur;
return true;
}2.3 Find查找
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}2.4 InOrder中序遍历
因为中序遍历需要一个根节点，所以我们封装一个出来，直接在类里调用自己的根节点。
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
//下面的可以放到private里面
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ' ';
_InOrder(root->_right);
}2.5 Erase删除
删除这里考虑的比较多，所以会稍微复杂一点。首先还是先找到要删除的节点，其次有三种情况需要考虑：
1. cur节点左子树为空，那么还是跟插入一样，把要删除节点的父节点也整到位，cur节点左子树为空，就把cur节点的右子树托孤给他的父节点（相当于让父节点跳过他指向他的右子树），然后删除节点。
2. cur节点右子树为空，跟左子树差不多一样，变个方向就可以了。
3.cur节点的左子树和右子树都不为空，这里主要是替换法删除，有两个值可以选，一个是左子树最大值，另一个是右子树最小值，选哪个都可以，看自己怎么实现。我选的是右子树最小值，这里选值不像下图一样那么简单，要定义一个指针去找。找到之后可以把minRight（最小值）的值直接赋值给cur（也可以交换），然后让父节点指向minRight的右节点，为什么是右呢？因为minRight是cur的右子树中最小值，不可能再有左节点了。当然父节点这里还是要判断一下，链接完成后删除minRight后就结束了。
当然还有一种，就是找不到要删除的值所对应的节点。
bool Erase(const K& key)
{
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
//1.左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
_root = cur->_right;
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_right;
else
parent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
}
//2.右为空
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
_root = cur->_left;
else
{
if (parent->_right == cur)
parent->_right = cur->_left;
else
parent->_left = cur->_left;
}
delete cur;
}
//3.都不为空
else
{
Node* parent = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left)
{
parent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
cur->_key = minRight->_key;
if (minRight == parent->_left)
parent->_left = minRight->_right;
else
parent->_right = minRight->_right;
delete minRight;
}
return true;
}
}
return false;
}2.6 构造和拷贝构造
构造比较简单，拷贝构造就是用前序遍历的方法走一遍，依次插入节点。
BSTree()
:_root(nullptr)
{}
BSTree(const BSTree<K>& t)
{
_root = copy(t._root);
}
Node* copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
//前序
Node* newNode = new Node(root->_key);
newNode->_left = copy(root->_left);
newNode->_right = copy(root->_right);
return newNode;
}
2.7 赋值重载和析构
赋值重载用的现代写法，不知道的可以回顾之前链表的博客。析构函数就是用后序遍历的方法进行删除，先删除左节点，再删除右节点 ，而后删除根节点。
BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
{
//现代写法
swap(_root, t._root);
return *this;
}
~BSTree()
{
Destory(_root);
_root = nullptr;
}
void Destory(Node* root)
{
//二叉树后续遍历删除
if (root == nullptr)
return;
Destory(root->_left);
Destory(root->_right);
delete root;
}2.8 插入（递归）
参数这里用了一个很巧妙的引用，让链接变得十分简单。
比如要往左子树插入值，此时root为空，new一个节点插入值，root这个节点就是父节点的左指针的引用，如果没有加这个引用，那么修改函数里的指针并不会影响函数外面的指针，即使new了节点，外面父节点的指针还是指向空，不会受影响。而加了引用，root就是父节点指向左子树这个指针的别名，此时修改root，就相当于修改了父节点的左指针。
bool InsertR(const K& key)
{
return _InsertR(_root, key);
}
bool _InsertR(Node*& root,const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
root = new Node(key);
return true;
}
if (root->_key > key)
return _InsertR(root->_left, key);
else if (root->_key < key)
return _InsertR(root->_right, key);
else
return false;
}2.9 删除（递归）
先找到节点，删除节点还是分三种情况：1.root的左节点为空，把root先提前用指针存好，然后让root的右节点给自己，因为自己是父节点的指针，所以就相当于让父节点指向指向root的右节点（托孤），最后释放掉提前存好的root节点，就可以了；2.root的右节点为空，跟第一个差不多；3.root的左右节点都不为空，这里用的是交换值，然后到root的右子树中去删除原来的key（到下图画圈的位置删除3），简化问题去处理。
bool EraseR(const K& key)
{
return _EraseR(_root, key);
}
bool _EraseR(Node*& root,const K& key)
{
if (root == nullptr)
return false;
if (root->_key > key)
return _EraseR(root->_left, key);
else if (root->_key < key)
return _EraseR(root->_right, key);
else
{
Node* del = root;
//1.左为空
if (root->_left == nullptr)
{
root = root->_right;
}
//2.右为空
else if (root->_right == nullptr)
{
root = root->_left;
}
//3.都不为空
else
{
Node* minRight = root->_right;
while (minRight->_left)
{
minRight = minRight->_left;
}
//root->_key = minRight->_key;
//return _EraseR(root->_right, minRight->_key);
//转换到子树去删除
swap(root->_key, minRight->_key);
return _EraseR(root->_right, key);
}
delete del;
return true;
}
}
3.二叉搜索树的应用
1. K 模型： K 模型即只有 key 作为值，结构中只需要存储 Key 即可，值即为需要搜索到 的值 。比如：给一个单词word ，判断该单词是否拼写正确 ，具体方式如下：以词库中所有单词集合中的每个单词作为key ，构建一棵二叉搜索树在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。2. KV 模型：每一个值 key ，都有与之对应的值 Value ，即 <Key, Value> 的键值对 。该种方式在现实生活中非常常见：比如英汉词典就是英文与中文的对应关系 ，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文 <word, chinese> 就构成一种键值对；再比如统计单词次数 ，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数， 单词与其出现次数就是 <word, count> 就构成一种键值对 。
namespace KV
{
template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K, V>* _left;
BSTreeNode<K, V>* _right;
K _key;
V _value;
BSTreeNode(const K& key, const V& value)
:_key(key)
, _value(value)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K, class V>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key, value);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
void Inorder()
{
_Inorder(_root);
}
void _Inorder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_Inorder(root->_left);
cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
_Inorder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
void TestBSTree2()
{
// Key/Value的搜索模型,通过Key查找或修改Value
KV::BSTree<string, string> dict;
dict.Insert("sort", "排序");
dict.Insert("string", "字符串");
dict.Insert("left", "左边");
dict.Insert("right", "右边");
string str;
while (cin >> str)
{
KV::BSTreeNode<string, string>* ret = dict.Find(str);
if (ret)
{
cout << ret->_value << endl;
}
else
{
cout << "无此单词" << endl;
}
}
}
void TestBSTree3()
{
// 统计水果出现的次数
string arr[] = { "苹果", "西瓜", "香蕉", "草莓","苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
KV::BSTree<string, int> countTree;
for (auto e : arr)
{
auto* ret = countTree.Find(e);
if (ret == nullptr)
{
countTree.Insert(e, 1);
}
else
{
ret->_value++;
}
}
countTree.Inorder();
}
}
4. 二叉搜索树的性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有
n
个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二
叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。 但对于同一个值集合，如果各值插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为：O(logN);
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树
(
或者类似单支
)
，其平均比较次数为：O(N);
本篇文章就结束了，如有什么问题或者不懂的地方可以评论或私信。感谢大家的观看！