深入浅出最优化(8) 拉格朗日乘子法

1 拉格朗日乘子法的数学背景

当使用前面介绍的罚函数法求解约束问题时，为获得足够好的近似解，罚参数需取足够大的值，这将导致增广目标函数的黑森矩阵出现病态，从而导致数值计算上的困难。因此提出拉格朗日乘子法。

学高数的时候我们就学过等式约束条件下的拉格朗日乘子法。延续前一节中对约束最优化问题的定义，则拉格朗日函数为$L(x,\mu )=f(x)-\sum _{j\in E}{\mu }_j{h}_j(x)$。局部最优解的条件是对x求梯度及对所有$\mu$求导均为0。

下面来讨论不等式和等式同时约束条件下的拉格朗日乘子法。拉格朗日函数为$L(x,\mu )=f(x)-\sum _{i\in I}{\lambda }_i{g}_i(x)-\sum _{j\in E}{\mu }_j{h}_j(x)$。对$\lambda$的情况需要讨论：

1. 最优解在$D$内部时，$g(x^{\ast })>0$，约束条件无效，有${\lambda }_i^{\ast }=0,i\in I$
2. 最优解在$D$边界上时，$g(x^{\ast })=0$，约束条件有效。此时对x求梯度设为0，有$\nabla f(x^{\ast })=\sum _{i\in I}{\lambda }_i^{\ast }\nabla g_i(x^{\ast })+\sum _{j\in E}{\mu }_j^{\ast }\nabla h_i(x^{\ast })$,$\nabla f(x^{\ast })$指向$D$内部（因为边界处是最优解），$\nabla g_i(x^{\ast })$也指向$D$内部（因为边界处为0，$D$内大于0），所以${\lambda }_i^{\ast }>0,i\in I$

可见，无论最优解在何处，都有${\lambda }_i^{\ast }{g}_i(x^{\ast })=0,i\in I$，这个条件被称为互补松弛条件。

因此针对不等式和等式同时约束条件下的拉格朗日乘子法，局部最优解的条件可以用如下的KKT条件表示：

$\{\begin{array}{l}{\nabla }_{x}L(x^{\ast },{\lambda }^{\ast },{\mu }^{\ast })=\nabla f(x^{\ast })-\sum _{i\in I}{\lambda }_i^{\ast }\nabla g_i(x^{\ast })-\sum _{j\in E}{\mu }_j^{\ast }\nabla h_j(x^{\ast })=0\\ h_j(x^{\ast })=0,j\in E\\ g_i(x^{\ast })\ge 0,{\lambda }_i^{\ast }\ge 0,{\lambda }_i^{\ast }{g}_i(x^{\ast })=0,i\in I\end{array}$

满足KKT条件的点被称为KKT点。

2 拉格朗日乘子法的构成

2.1 等式约束问题的乘子法

将外点罚函数法的思想引入拉格朗日函数的最优化问题。设$S(x)=\sum _{i\in E}{h}_i^2(x)$，构造辅助函数$L_{\mu }(x,\lambda )=L(x,\lambda )+\frac{1}{2}\mu S(x)=f(x)-\sum _{i\in E}{\lambda }_i{h}_i(x)+\frac{1}{2}\mu \sum _{i\in E}{h}_i^2(x)$

求驻点，令${\nabla }_x{L}_{\mu }(x,\lambda )=\nabla f(x)-\sum _{i\in E}{\lambda }_i\nabla h_i(x)+\mu \sum _{i\in E}{h}_i(x)\nabla h_i(x)=0$

根据KKT条件有$\nabla f(x^{\ast })-\sum _{i\in E}{\lambda }_i^{\ast }\nabla h_i(x^{\ast })=0$

若${\nabla }_x{L}_{{\mu }_k}(x_k,{\lambda }_k)=\nabla f(x_k)-\sum _{i\in E}{\lambda }_i^{(k)}\nabla h_i(x_k)+{\mu }_k\sum _{i\in E}{h}_i(x_k)\nabla h_i(x_k)=0$

则$\nabla f(x_k)-\sum _{i\in E}[{\lambda }_i^{(k)}-{\mu }_k{h}_i(x_k)]\nabla h_i(x_k)=0$

• 为了使得$\lambda$收敛向${\lambda }^{\ast }$，有${\lambda }_i^{(k+1)}={\lambda }_i^{(k)}-{\mu }_k{h}_i(x_k),i\in E$
• 为了使得$h_j(x)\to 0,j\in E$，每一步增加罚因子${\mu }_{k+1}=\sigma {\mu }_k$（$\sigma$为放大系数）

由此得到等式约束问题乘子法的步骤：

1. 选定初始点$x_0\in R^n$，初始乘子估计${\lambda }_1$，初始罚因子${\mu }_1>0$，常数$\sigma >1$，$\beta \in (0,1)$，精度$ϵ>0$，置$k=1$
2. 构造增广目标函数$L_{{\mu }_k}(x,{\lambda }_k)=L(x,{\lambda }_k)+\frac{1}{2}{\mu }_{k}S(x)$
3. 以$x_{k-1}$为初始点求解无约束问题$min{L}_{{\mu }_k}(x,{\lambda }_k)$，其解为$x_k$
4. 若$S(x_k{)}^{\frac{1}{2}}\le ϵ$，则得解$x_k$，停止迭代
5. 若$\frac{S(x_k{)}^{\frac{1}{2}}}{S(x_{k-1}{)}^{\frac{1}{2}}}\le \beta$成立，则令${\mu }_{k+1}={\mu }_k$，否则${\mu }_{k+1}=\sigma {\mu }_k$
6. 令${\lambda }_i^{(k+1)}={\lambda }_i^{(k)}-{\mu }_k{h}_i(x_k),i\in E$，令$k=k+1$，转步2

2.2 一般约束问题的乘子法

引入松弛变量z将不等式问题化为等价的等式约束问题：$g_i(x)\ge 0,i\in I\Rightarrow g_i(x)-z_i^2=0,i\in I$

构造增广拉格朗日函数：$\overline{L_{\mu }}(x,z,\lambda )=f(x)-\sum _{i\in I}{\lambda }_i[g_i(x)-z_i^2]+\frac{\mu }{2}\sum _{i\in I}[g_i(x)-z_i^2{]}^2$

配方后可得： L μ ‾ ( x , z , λ ) = f ( x ) − ∑ i ∈ I { μ 2 [ z i 2 − 1 μ ( μ g i ( x ) − λ i ) ] 2 − λ i 2 2 μ } \overline{L_\mu}(x,z,\lambda)=f(x)-\displaystyle\sum_{i\in I}\{\frac{\mu}{2}[z_i^2-\frac{1}{\mu}(\mu g_i(x)-\lambda_i)]^2-\frac{\lambda^2_i}{2\mu}\} Lμ​​(x,z,λ)=f(x)−i∈I∑​{ 2μ​[zi2​−μ1​(μgi​(x)−λi​)]2−2μλi2​​}

将该式对$z_i$求偏导，令偏导为0，有 2 z i { λ i − μ [ g i ( x ) − z i 2 ] } = 0 2z_i\{\lambda_i-\mu[g_i(x)-z_i^2]\}=0 2zi​{ λi​−μ[gi​(x)−zi2​]}=0

因此 z i 2 = 1 μ m a x { 0 , μ g i ( x ) − λ i } z_i^2=\frac{1}{\mu}max\{0,\mu g_i(x)-\lambda_i\} zi2​=μ1​max{ 0,μgi​(x)−λi​}，代入消去z得 L μ ( x , λ ) = f ( x ) + 1 2 μ ∑ i ∈ I ( m a x 2 { 0 , λ i − μ g i ( x ) } − λ i 2 ) L_\mu(x,\lambda)=f(x)+\frac{1}{2\mu}\displaystyle\sum_{i\in I}(max^2\{0,\lambda_i-\mu g_i(x)\}-\lambda_i^2) Lμ​(x,λ)=f(x)+2μ1​i∈I∑​(max2{ 0,λi​−μgi​(x)}−λi2​)

则 ∇ x L ( x , λ ) = ∇ f ( x ) − ∑ i ∈ I ( m a x { 0 , λ i − μ g i ( x ) } ) ∇ g i ( x ) \nabla_xL(x,\lambda)=\nabla f(x)-\displaystyle\sum_{i\in I}(max\{0,\lambda_i-\mu g_i(x)\})\nabla g_i(x) ∇x​L(x,λ)=∇f(x)−i∈I∑​(max{ 0,λi​−μgi​(x)})∇gi​(x)

根据KKT条件有$\nabla f(x^{\ast })-\sum _{i\in E}{\lambda }_i^{\ast }\nabla g_i(x^{\ast })=0$

为了使得$\lambda$收敛向${\lambda }^{\ast }$，根据KKT条件，有 λ i ( k + 1 ) = m a x { λ i ( k ) − μ g i ( x k ) , 0 } , i ∈ E \lambda_i^{(k+1)}=max\{\lambda_i^{(k)}-\mu g_i(x_k),0\},i\in E λi(k+1)​=max{ λi(k)​−μgi​(xk​),0},i∈E

可以得到一般约束条件下的增广目标函数和$\lambda$的递推公式：

L μ ( x , λ ) = f ( x ) + 1 2 μ ∑ i ∈ I ( m a x 2 { 0 , λ i − μ g i ( x ) } − λ i 2 ) − ∑ j ∈ E λ j h j ( x ) + 1 2 μ ∑ j ∈ E h j 2 ( x ) L_\mu(x,\lambda)=f(x)+\frac{1}{2\mu}\displaystyle\sum_{i\in I}(max^2\{0,\lambda_i-\mu g_i(x)\}-\lambda_i^2)-\displaystyle\sum_{j\in E}\lambda_jh_j(x)+\frac{1}{2}\mu\sum_{j\in E}h_j^2(x) Lμ​(x,λ)=f(x)+2μ1​i∈I∑​(max2{ 0,λi​−μgi​(x)}−λi2​)−j∈E∑​λj​hj​(x)+21​μj∈E∑​hj2​(x)

{ λ i ( k + 1 ) = m a x { λ i ( k ) − μ g i ( x k ) , 0 } , i ∈ I λ j ( k + 1 ) = λ j ( k ) − μ h j ( x k ) , j ∈ E \begin{cases}\lambda_i^{(k+1)}=max\{\lambda_i^{(k)}-\mu g_i(x_k),0\},i\in I\\\lambda_j^{(k+1)}=\lambda_j^{(k)}-\mu h_j(x_k),j\in E\end{cases} { λi(k+1)​=max{ λi(k)​−μgi​(xk​),0},i∈Iλj(k+1)​=λj(k)​−μhj​(xk​),j∈E​

由此得到一般约束问题乘子法的步骤：

1. 选定初始点$x_0\in R^n$，初始乘子估计${\lambda }_1$，初始罚因子${\mu }_1>0$，常数$\sigma >1$，$\beta \in (0,1)$，精度$ϵ>0$，置$k=1$
2. 构造增广目标函数
3. 以$x_{k-1}$为初始点求解无约束问题$min{L}_{{\mu }_k}(x,{\lambda }_k)$，其解为$x_k$
4. 若 ( ∑ j ∈ E h j 2 ( x k ) ) 1 2 + ( ∑ i ∈ I m i n 2 { g i ( x k ) , 0 } ) 1 2 ≤ ϵ (\displaystyle\sum_{j\in E}h_j^2(x_k))^{\frac{1}{2}}+(\displaystyle\sum_{i\in I}min^2\{g_i(x_k),0\})^{\frac{1}{2}}\leq\epsilon (j∈E∑​hj2​(xk​))21​+(i∈I∑​min2{ gi​(xk​),0})21​≤ϵ，则得解$x_k$，停止迭代
5. 若 ( ∑ j ∈ E h j 2 ( x k ) ) 1 2 + ( ∑ i ∈ I m i n 2 { g i ( x k ) , 0 } ) 1 2 ( ∑ j ∈ E h j 2 ( x k − 1 ) ) 1 2 + ( ∑ i ∈ I m i n 2 { g i ( x k − 1 ) , 0 } ) 1 2 ≤ β \frac{(\displaystyle\sum_{j\in E}h_j^2(x_k))^{\frac{1}{2}}+(\displaystyle\sum_{i\in I}min^2\{g_i(x_k),0\})^{\frac{1}{2}}}{(\displaystyle\sum_{j\in E}h_j^2(x_{k-1}))^{\frac{1}{2}}+(\displaystyle\sum_{i\in I}min^2\{g_i(x_{k-1}),0\})^{\frac{1}{2}}}\leq\beta (j∈E∑​hj2​(xk−1​))21​+(i∈I∑​min2{ gi​(xk−1​),0})21​(j∈E∑​hj2​(xk​))21​+(i∈I∑​min2{ gi​(xk​),0})21​​≤β成立，则令${\mu }_{k+1}={\mu }_k$，否则${\mu }_{k+1}=\sigma {\mu }_k$
6. 计算${\lambda }^{(k+1)}$，令$k=k+1$，转步2

3 实战测试

对于上节深入浅出最优化(7) 罚函数法中提出的约束最优化问题，$x_1,x_2,x_3$的初值均在$[0,4]$的范围内随机生成，总共生成100组起点。统计迭代成功（在1000步内得到最优解且单次步长搜索迭代次数不超过1000次）的样本的平均迭代步数、平均迭代时间和得到的最优解及开销函数最小值。

迭代步数	迭代时间	最优解	函数最小值
17	24.3729s	$x_1=1.1051x_2=1.1969x_3=1.5352$	$0.03257$

代码实现

本博客所有代码在https://github.com/HarmoniaLeo/optimization-in-a-nutshell开源，如果帮助到你，请点个star，谢谢这对我真的很重要！

你可以在上面的GitHub链接或本文集的第一篇文章深入浅出最优化(1) 最优化问题概念与基本知识中找到Function.py和lagb.py

使用共轭梯度PRP+法的拉格朗日乘子法

import numpy as np
from Function import Function	#定义法求导工具
from lagb import *	#线性代数工具库
from scipy import linalg

n=3 #x的长度
mu=2
lj=np.ones(1)	#λj初值，长度等于等式限制条件个数
li=np.ones(2)	#λi初值，长度等于不等式限制条件个数

def func(x):    #目标函数，x是一个包含所有参数的列表
    return (x[0]-1)**2+(x[0]-x[1])**2+(x[1]-x[2])**2

def hj(x):  #构造数组h，第j位是第j+1个等式限制条件计算的值，x是一个包含所有参数的列表
    return np.array([x[0]*(1+x[1]**2)+x[2]**4-4-3*np.sqrt(2)])

def gi(x):  #构造数组g，第i位是第i+1个不等式限制条件计算的值，x是一个包含所有参数的列表
    return np.array([x[0]+10,-x[0]+10])

def myFunc(x):
    return  func(x)+\
        1/(2*mu)*np.sum(np.power(np.where(li-mu*gi(x)>0,li-mu*gi(x),0),2)-np.power(li,2))-\
            np.sum(lj*hj(x))+0.5*mu*np.sum(np.power(hj(x),2))

def cdt(x):
    return np.sqrt(np.sum(np.power(hj(x),2)))+np.sqrt(np.sum(np.power(np.where(gi(x)>0,0,gi(x)),2)))

sigma2=1.5	#放大因子
e2=0.001
beta=0.5
x=np.array([2.0,2.0,2.0])	#初值点
k1=0
while cdt(x)>=e2:
    e=0.001
    beta1=1
    sigma=0.4
    rho=0.55
    tar=Function(myFunc)
    k=0
    d=-tar.grad(x)
    x1=x
    while tar.norm(x)>e:
        a=1
        if not (tar.value(x+a*d)<=tar.value(x)+rho*a*dot(turn(tar.grad(x)),d) and \
            np.abs(dot(turn(tar.grad(x+a*d)),d))>=sigma*dot(turn(tar.grad(x)),d)):
            a=beta1
            while tar.value(x+a*d)>tar.value(x)+rho*a*dot(turn(tar.grad(x)),d):
                a*=rho
            while np.abs(dot(turn(tar.grad(x+a*d)),d))<sigma*dot(turn(tar.grad(x)),d):
                a1=a/rho
                da=a1-a
                while tar.value(x+(a+da)*d)>tar.value(x)+rho*(a+da)*dot(turn(tar.grad(x)),d):
                    da*=rho
                a+=da
        lx=x
        x=x+a*d
        beta=np.max((dot(turn(tar.grad(x)),tar.grad(x)-tar.grad(lx))/(tar.norm(lx)**2),0))	#PRP+
        d=-tar.grad(x)+beta*d
        k+=1
        print(k1,k)
    if cdt(x)/cdt(x1)>beta:
        mu*=sigma2
    k1+=1
print(x)