games101：八，辐射度量学+BRDF和渲染方程概念导论+蒙特卡罗积分法、路径追踪法

一，辐射度量学

在光线追踪中，之前一直用一个数代表光的强度，但实际中光是有测量单位的；whited-style模型中也有缺陷，比如没有反映出漫反射光线、Blinn-Phong模型是个经验模型有误差等。这些情况导致光线追踪效果与真实不一致，辐射度量学可以解决这些问题。（真的吗？mark待验证）

1.1 辐射能量(Radiant energy)与辐射通量(Radiant flux/power)

• 辐射能量为辐射电磁能量，符号Q，单位焦耳J
• 辐射通量也叫辐射功率，表示单位时间内的辐射能量，一定情况下可以表示亮度，符号Φ=dQ/dt，单位瓦W（类比灯泡）或者流明lm（类比投影）

1.2 辐射强度(Radiant intensity)

• 3个近似概念：

  1. Radiant intensity指从一个光源向四周散发出去的能量
  2. Irradiance指一个物体一点表面接收到的能量
  3. Radiance指一条光线传播过程中的能量（与方向无关）

• 辐射强度指每单位立体角（solid angle）上的功率（光源出发），符号$I=\frac{d\Phi }{dw}$，单位
  $\frac{W}{sr}$（按瓦计算）或者$\frac{lm}{sr}=cd=candela$（按流明计算）

• 弧度和立体角（三维弧度）：

  1. 弧度 = $\frac{弧长}{半径}$；范围0~2π；
  2. 立体角 = $\frac{球表面积}{半{径}^2}$；范围0~4π；
     

• 微分立体角：同极坐标微分----$dw=\frac{dA}{r^2}=sin\theta d\theta d\phi$

• 因此点光源的辐射强度$I=\frac{d\Phi }{dw}=\frac{\Phi }{4\pi }$

1.3 辐射照度(Radiant irradiance)

• 辐射照度指辐射通量密度，即单位垂直面积上的功率（接收面），符号为$E=\frac{d\Phi }{dA}$，单位为$\frac{W}{m^2}=lux$
• 正因为辐射照度定义为垂直于光线的面积（或投影到垂直方向），因此在不垂直的面上计算的面积为$\frac{A}{cos\theta }$----即为$E=\frac{\Phi }{A}cos\theta$--------Blinn-Phong中的Lambert’s Cosine Law「这里理解为取光线垂直于照射面的分量更好理解，如下图」
• 光照模型中说过光源越远约衰减，实际上衰减的不是intensity（立体角没变），衰减的是irradiance，因为面积~$r^2$。

1.4 辐射亮度(Radiant radiance)

• 辐射亮度指一条光线在传播过程中，单位垂直投影面积（与入射角夹角θ）、单位立体角上的功率，符号为$L(p,w)=\frac{d^2\Phi (p,w)}{dwdAcos\theta }=\frac{dE(p)}{dwcos\theta }$，单位为$\frac{W}{sr-m^2}$或者$\frac{cd}{m^2}=nit$
• 公式里乘上cosθ可以理解为单位角dw代表的方向在照射面积垂直方向上投影的分量
• radiance和irradiance的关系可以用公式推导出来，主要区别在于radiance具有方向性，irradiance是面积上所有方向的power集合，有积分关系如下：
  

二，双向反射分布函数BRDF(Bidirectional Reflectance Distribution Function)和渲染方程

2.1 BRDF

本理论是基于物理渲染的基础，在学习了radiance和irradiance之后可以把反射的过程理解为：物体表面接收了从ω方向来的光线$dE({\omega }_i)$后，再把它发射到不同方向去$d{L}_r(x,{\omega }_r)$，根据材质不同，发射的方向和亮度不同；在理想光滑表面上反射光只有镜面反射方向有，在理想粗糙表面上反射光为所有方向。BRDF就是描述材质----一个表面接受光线后如何分配各方向反射光线的函数。

• BRDF定义：出射radiance与入射irradiance微分的比「实际应用中，接收光线是来自各个角度的光线或其他反射光线的集合（同whitted-style），在空间角中积分和递归，还是比较难算的」

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• 渲染方程：发射光=自身发光+接受光，cos用点积代替（假设所有方向都朝外）
  $$L_o(p,w_o)=L_e(p,w_o)+{\int }_{\Omega +}{L}_i(p,w_i)f_r(p,w_i,w_o)(n\cdot w)d{w}_i$$

2.2 渲染方程

上式渲染方程可以改写成下式

再改写为线性代数形式，K为算子操作（这里看不懂，mark）

化简

最后化简为
$$L=E+KE+K^{2}E+K^{3}E+\dots \dots$$

• 其物理意义：
  1. E为直接从该物体发出的光源
  2. KE为光源经过该物体一次反射（弹射一次）「到这一步是着色能做到的，之后就不好做到」
  3. K^2E为已经经过反射或折射的光经过该物体一次反射（弹射两次）
  4. ……（弹射多次）

计算越多弹射次数越接近真实情况（对于玻璃罩等的情况，至少算3-4次才能从罩子出去）

三，蒙特卡罗方法(Monte Carlo method)

蒙特卡罗方法也称统计模拟方法，是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法，相关的方法有：蒙特卡罗算法，蒙特卡罗模拟，蒙特卡罗过程，蒙特卡罗搜索树—AlphaGO以及蒙特卡罗积分法。蒙特卡洛积分是图形学里常用的数值方法，无论BRDF方程，还是PCF阴影滤波都会用到。

3.1 蒙特卡罗积分法(Monte Carlo Integration)

当一个函数f(x)难积分时，可用蒙特卡罗方法：在区间内随机取若干点，计算若干点的函数平均值，再乘以区间(b-a)以近似求出函数积分。如下图：

上述过程用数学表达为：
$$S=\frac{1}{4}(b-a)\sum _{i=1}^{4}f(x_i)$$

上面是普通随机采样的例子，对于其他一般情况：
I = ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) p ( x ) p ( x ) d x = ∫ a b g ( x ) p ( x ) d x = > { g ( x ) = f ( x ) p ( x ) } I = \int_a^b f(x)dx = \int_a^b \frac{f(x)}{p(x)}p(x)dx = \int_a^b g(x)p(x)dx => \{g(x) = \frac{f(x)}{p(x)}\} I=∫ab​f(x)dx=∫ab​p(x)f(x)​p(x)dx=∫ab​g(x)p(x)dx=>{ g(x)=p(x)f(x)​}
由期望~均值关系得
$$I={\int }_a^{b}g(x)p(x)dx=E[g(x)]=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}g(x_i)={\int }_a^{b}f(x)dx$$
所以
$$I=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}g(x_i)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\frac{f(x)}{p(x)}$$

3.2 蒙特卡罗路径追踪(Monte Carlo Path[pɑːθ] Tracing)

路径追踪可以解决Whitted-Style光线追踪的缺陷，即漫反射等难以计算，渲染结果缺乏真实感。

回顾2.2节的渲染方程：
$$L_o(p,w_o)=L_e(p,w_o)+{\int }_{\Omega +}{L}_i(p,w_i)f_r(p,w_i,w_o)(n\cdot w)d{w}_i$$
该渲染方程的计算有两个难点：半球上的积分计算和递归计算。但方程的结果是个积分，也就是一个值，合理想到蒙特卡罗方法估计积分结果！

3.2.1 光照计算过程

先假设一个简单光照场景，光线直接打到Q点后反射到P点，计算P点接收Q点反射光后的反射光：

省略方程发光项：$L_o(p,w_o)={\int }_{\Omega +}{L}_i(p,w_i)f_r(p,w_i,w_o)(n\cdot w)d{w}_i$，此时使用蒙特卡罗积分法对$w_i$进行采样，设$w_i\sim p(w_i)=\frac{1}{2\pi }$，带入公式得：
$$L_o(p,w_o)\approx \frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\frac{f(x)}{p(x)}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\frac{L_i(p,w_i)f_r(p,w_i,w_o)(n\cdot w)}{p(w_i)}$$
「注意分子的p是p点，分母的$p(w_i)$是概率分布函数」

计算过程伪代码：

3.2.2 存在的两个问题

目前算出了直接和间接光照的结果，但还存在两个问题：

1. 如此递归光线数量指数上升、计算量爆炸。
2. 递归停止条件呢？

问题一：N的取值

我们观察公式发现只有N=1的时候才不会出现指数爆炸----用N=1做蒙特卡罗积分计算光线就叫路径追踪；用N!=1就是分布式追踪（用得少）

伪代码如下：

但都知道N=1采样偏差大，为解决这个问题，采用N=1每次只追踪一个路径但多次追踪计算平均值的方法，改良后伪代码如下：

问题二：递归停止条件----俄罗斯轮盘赌(Russian Roulette)

公式里没有给出递归停止条件，因此递归停不下来，那如何设置递归停止条件呢？

如果像光线追踪中设置最大反射次数来限制递归，也不符合实际，因为现实生活中就是反射无限次的。

因此人们引入一种方法，俄罗斯轮盘赌（RR），来计算一个停止递归的概率。

俄罗斯轮盘赌原本指一把左轮两发子弹，拿这把左轮射自己有4/6的概率活下来（这不就是二项式吗？）。套用到我们这里，指设定光线会继续递归下去的概率为P，停止递归概率为1-P；递归时返回$\frac{L_o}{P}$，不递归时返回0；这时期望还是$L_o$。如下图：

伪代码如下：（概率P_RR）----有了递归停止条件

到这里，2个问题都解决后，就已经是一个正确的路径追踪的方法了。就是还有一个效率不是很高的小问题

3.2.3 效率太低问题----直接光源和间接光源分开计算

如果每像素打出的光线(SPP----samples per pixel)不够多，就会产生很多噪点，这是因为有很多打出的光线都打不到光源上，是无效的。为了提高打出光线的效率，这里使用了在有光源下，直接对光源积分的方法，具体如下图：

不同的pdf可以控制不同的光线打出概率，为了直接对光源积分我们使用$\frac{1}{A}$作为pdf值，其中A是光源面积，然后对A积分；但原本的公式是对立体角$w_i$积分的，因此需要找到A和$w_i$之间的关系，如下式：
$$dw=\frac{dAcos{\theta }^{\prime }}{[dis(x,x^{\prime }){]}^2}$$
其中θ’是光源法向量与光源和采样点连线的夹角。

改变积分域后公式变为：
$$L_o(x,w_o)={\int }_{\Omega +}{L}_i(x,w_i)f_r(x,w_i,w_o)\frac{cos\theta cos{\theta }^{\prime }}{[dis(x,x^{\prime }){]}^2}dA$$
$$=\frac{A}{N}\sum _{i=1}^N{L}_i(p,w_i)f_r(p,w_i,w_o)\frac{cos\theta cos{\theta }^{\prime }}{[dis(x,x^{\prime }){]}^2}$$

这样对直接光源的情况可以大大提高采样效率，而对间接光源有层层弹射的部分我们还采用上面得到的RR方式，可避免在概率采样的方式下直接光源部分产生太大误差。

伪代码：

其中直接光源部分还需判断是否有遮挡

以上就是所有本节的路径追踪知识！

tip：

• 点光源对路径追踪来说比较难处理，可以看做一个很小的面光源
• 本节逻辑有点混乱，老师课程逻辑就是这样，感觉应该在找到其他参考资料在此学习一遍

知识拓展：

• 路径追踪是照片级的正确哈欣慰，渲染和照片对比请看康奈尔的网站http://www.graphics.cornell.edu/online/box/compare.html
• 如何在半球或面积上实现均匀采样，见作业7
• 蒙特卡洛积分时应该怎么选择pdf呢（除了均匀采样外）？----重要性采样理论「或是attention机制」
• 采样生成的随机数也有质量区分，其中低差异化序列(low discrepancy sequences)质量比较好（均匀、距离分布等）
• 把上述直接光源和间接光源的采样方法结合起来的方法----MIS(multiple importance sampling)
• 我们目前是在一个像素里把所有方向的采样结果计算平均值，但在像素里中心和边缘有没有加权呢？----pixel reconstruction filter
• 计算出来每个像素的radiance怎么换算成应该显示的颜色呢？----Gamma矫正、曲线、颜色空间