Unity TAA Jittering公式推导

关于Jittering的公式，很多地方只是大概提了一下公式，这是Unity中的实现，使用的公式是：

matrix[0, 2] += offset.x * 2 / horizontal;
matrix[1, 2] += offset.y * 2 / vertical;

具体参考代码（话说这函数定义horizontal，vertical意义不明，可能是为了提高计算精度？）

public static Matrix4x4 GetJitteredPerspectiveProjectionMatrix(Camera camera, Vector2 offset)
{
    float near = camera.nearClipPlane;
    float far = camera.farClipPlane;

    float vertical = Mathf.Tan(0.5f * Mathf.Deg2Rad * camera.fieldOfView) * near;
    float horizontal = vertical * camera.aspect;

    offset.x *= horizontal / (0.5f * camera.pixelWidth);
    offset.y *= vertical / (0.5f * camera.pixelHeight);

    var matrix = camera.projectionMatrix;

    matrix[0, 2] += offset.x / horizontal;
    matrix[1, 2] += offset.y / vertical;

    return matrix;
}

现在来分析一下原理：

先不管Jitter的数值是多少，我们把Jitter带入到投影矩阵中

$\begin{pmatrix} \frac{n}{r} & 0 & Jitter_{x} & 0\\ 0 & \frac{n}{t} & Jitter_{y} & 0\\ 0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n} & -\frac{2fn}{f-n}\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}$

然后计算clip space坐标的差值

${P_{clip}}' = {}{M_{proj}}'* P_{view} = P_{clip}+ \begin{pmatrix} Jitter_{x} * Z_{view}\\ Jitter_{y} * Z_{view}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

因为坐标值只涉及到xy的修改，所以后面都只看xy，下一步是到NDC空间

${P_{ndc}}' = {\frac{P_{clip}}{w}}'= \frac{{P_{clip}'}}{-Z_{view}} = P_{ndc} + \frac{Jitter_{xy} * Z_{view}}{-Z_{view}} = P_{ndc} - Jitter_{xy}$

以及屏幕空间

${P_{screen}}' = \frac{{P_{ndc}}' + 1}{2} = P_{screen} - \frac{Jitter_{xy}}{2}$

现在把最初的Jitter数值带入进去

$Jitter_{xy} = \frac{2*Offset_{xy}}{Resolution}$

得到最终的差异：

${P_{screen}}' = P_{screen} - \frac{Offset_{xy}}{Resolution}$

其中Offset的xy介于[-0.5, 0.5]之间，到这一步作用已经很明显了，1除以屏幕分辨率得到的是每个像素的长宽，乘以Offset代表偏移的长度，表示往像素在水平和垂直分别偏移最多0.5个像素。

在很多实现当中，比如https://zhuanlan.zhihu.com/p/138866533，会使用这样的公式

var jitteredProjection = camera.projectionMatrix;
jitteredProjection.m02 += (offset.x * 2 - 1) / camera.pixelWidth;
jitteredProjection.m12 += (offset.x * 2 - 1) / camera.pixelHeight;

区别只是这里的分母多减了1，结果变成了

${P_{screen}}' = P_{screen} + \frac{0.5 - Offset_{xy}}{Resolution}$

实际上没有区别，只是这里Offset值域不一样，这里的是[0, 1]

Unity TAA Jittering公式推导

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