概率分布是描述随机变量在各个可能取值的概率分布情况的工具。在概率统计学中，我们常常使用五种概率分布来描述统计分布情况：两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布以及超几何分布。
1、两点分布
两点分布又称为伯努利分布，是一种概率分布，它只有两种可能的结果：成功和失败。在两点分布中，成功的概率通常用p表示，失败的概率为1-p。
两点分布的概率密度函数为：
P(X=k)= pk+(1-p)(1-k)
其中X为随机变量，k=0或1。两点分布被广泛应用于模拟二元事件或条件试验的结果，例如抛硬币或翻转信用卡的申请，这些事件仅有两种可能的结果。
n重Bernoulli 试验
将伯努利试验E独立地重复地进行n次﹐则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.
“重复”是指这n次试验中P(A)=p保持不变.“独立”是指各次试验的结果互不影响.
n重Bernoulli试验的例子
- 掷n次硬币，观察正面次数.
- 掷n颗骰子，观察是否出现1点
- 对同一目标进行n次射击，每次击中的概率相等，观察各次是否击中目标
- n台机器独立工作，每台机器正常工作的概率相同，观察n台机器是否正常工作。
- N件产品，其中D件次品，有放回的抽取n件产品，观察取到次品的个数
2、二项分布
二项分布是一种离散型概率分布，描述了在n次试验中成功的次数，其中每次试验成功的概率为p。二项分布的概率密度函数为：
其中X是随机变量，k表示成功的次数。在二项分布中，每一次试验的结果是独立的，这种分布常常用于分析投票结果、产品质量统计等实际情况。
3、泊松分布
泊松分布是一种离散型的概率分布，描述了随机事件在一段固定时间内发生的次数。泊松分布通常假定事件的发生是随机的，且事件之间相互独立。泊松分布的概率密度函数为：
P(X=k)=e^(-λ) * λ^k/k!
其中，X是随机变量，λ是时间内平均发生事件的次数。泊松分布在实际中被广泛应用于处理疾病发生率、电话呼入量、邮件到达量、高速公路事故等问题。
泊松定理
4、几何分布
几何分布是一种离散型的概率分布，用于描述随机事件的发生可能性，直到首次出现该事件为止所需要的试验次数分布情况。几何分布的概率密度函数为：
P(X=k)=q^(k-1)*p
其中，X是随机变量，k表示首次成功发生的时间，p表示每次试验成功的概率，(1-p)表示每次试验失败的概率。几何分布通常被用于描述人们抽取口香糖在第几次尝试中获得“成功”的分布情况。
5、超几何分布
超几何分布是一种离散型概率分布，用于描述实验选择后，从不同类中选择的情况下，成功的数量。超几何分布通常假定实验结果只有两类：成功和失败，超几何分布的概率密度函数为：
P(X=k)=C(M,k)*C(N-M,n-k)/C(N,n)
其中，X是随机变量，k表示实验中成功的数量，M表示两类中成功的总数，N表示总的类别数量。超几何分布通常被用于处理随机抽样、调查样本中不同组别的比较等问题。
综上所述，以上五种概率分布在实际中被广泛应用于描述各种实验事件的随机性结果，对于统计学学习和实际应用都具有重要意义。