电感电容的储存能量推导

电容能量推导

基础知识

电容的大小C的决定因素

$$C=\frac{\epsilon S}{4\pi kd}$$
ε是一个常数，S为电容极板的正对面积，d为电容极板的距离，k则是静电力常量8.987551×10⁹N·m²/C²，,。
令$\epsilon =\frac{\epsilon }{4\pi k}$,则可将C的式子化简为
$$C=\epsilon S/d$$
这时的ε称为极板间介质的介电常数

静电力常量

来源
$$F=k\cdot \frac{q_1\cdot q_2}{r^2}$$
k静电力常量，的含义真空中两个电荷量均为1C的点电荷，它们相距1m时，它们之间的作用力的大小为9.0×10⁹N；q_1,2 代表两个电荷的电荷量，r代表两个电荷的距离。

在电容充电的过程中就是电容的电场做负功，也就是正电荷在电容电场的作用下移动到电容正极。而在充电过程中电容两端的电压是时刻改变的。那么利用微积分的思想可以考虑某一时刻的电压认为是不变的。

首先知道，电压u和电荷量q的关系式：
$q=Cu$
$$i=\frac{dq}{dt}=\frac{d(Cu)}{dt}=C\frac{du}{dt}（式1）$$

计算功率和能量的思路

下面默认电容初始是没有电压的，也可认为能量为0.
第一种计算能量的思路：能量的计算不是通过ui计算功率，而是通过电荷量从电容的负极移动到正极所做的功
某一时刻电压和能量的关系：$dW=udq$,初中物理中常看到的：$W=qu$(这是因为初中物理中考虑的都是不变电场)，而这里的电容电压是时刻变化的，
$dq$表示的是电容上电荷的变化量，也可理解为每个时刻正电荷从电荷负极移动到正极的电荷量
当电容上电荷从0到Q，表示对各个时刻的正电荷从负极到正极的能量积分，电容又称记忆元件，能量只和正负极的电荷量有关

$dW=udq$，这里的$u$指的是这个时刻电容两端的电压
$W={\int }_0^Q\frac{q}{C}dq=\frac{1}{2C}\cdot q^2{|}_0^Q=\frac{1}{2C}{Q}^2-0$
所以最终的电容的能量公式，下面的$u$指的是最终时刻的电容两端的电压
$W=\frac{1}{2C}{Q}^2=\frac{1}{2}C{u}^2$

上面式子中的$dq$表示某一时刻由于电源作用，正电荷从电容的负极到正极的电荷量。而$Q$表示从0到某个时刻电容在这段时间总共把正电荷从负极移动到正极的电荷量。
第二种计算能量的思想：使用功率积分的思想

$p=ui$根据式1可推出下面
$$p=uC\frac{du}{dt}$$
$某t时刻的i和u都和时间t有对应关系，可以使用u_{(t)}，i_{(t)}表示$，这里的t表示的是时刻，然后对功率积分
$$W={\int }_{-\infty }^T{u}_{(t)}{i}_{(t)}dt={\int }_{-\infty }^T{u}_{(t)}C\frac{d{u}_{(t)}}{dt}dt=C{\int }_{-\infty }^T{u}_{(t)}d{u}_{(t)}=\frac{1}{2}C(u_{(T)}^2-u_{(-\infty )}^2)$$平常又认为$u_{(-\infty )}=0$
所以最终能量结果是
$$W=\frac{1}{2}C{u}_{(T)}^2,而平常的习惯又将T时刻写成t，但这个t和上面的t是不同的$$

电感能量推导

实际和电容得推导思想一样，下面简单写公式：
磁通链和电流关系：${\psi }_L=N{\Phi }_L=L\cdot i$
某一时刻的电压与电流的关系，

而电流的功率可知，$p=ui$,所以能量如下式,(式子中的dt，di是微分思想，表示一个短时刻和电流变化大小)
$$dW=p=ui=\frac{Li\cdot di}{dt}$$
然后对两边对 t 从 0 到T时刻积分而i是和时间t时刻有对应关系$i_{(t)}$，
$$W={\int }_0^T\frac{L{i}_{(t)}\cdot d{i}_{(t)}}{dt}dt={\int }_0^{i_{(T)}}L{i}_{(t)}\cdot d{i}_{(t)}$$
下式化简后表示对电流 i 从0到T时刻积分，也就是电感也是记忆元件，又 t 时刻的电流是$i(t)$,则最终化简为
$$W=\frac{1}{2}L{i}_{(T)}^2=\frac{1}{2}\frac{{\psi }_{(T)}^2}{L}$$