信息学奥赛一本通 1391：局域网(net)

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ybt 1391：局域网(net)

【题目考点】

1. 图论：最小生成树

记图中顶点数为V，边数为E

• Prim算法
  复杂度：$O(V^2)$
• Prim算法堆优化
  复杂度：$O(ElogE)$
• Kruskal算法
  复杂度：$O(ElogE)$

【解题思路】

每台电脑是一个顶点，两台电脑间的网线是边。两台电脑间连接的通畅程度$f(i,j)$就是两个顶点之间边的权值。
一个局域网中任何两台电脑都可以连通，也就是说图中任意两顶点之间都有路径。
要使n个顶点的图中任意两顶点之间都有路径，而且没有回路，那么就需要不断去掉边，剩下的图是原图的生成树。
要使得去掉边的权值加和最大，那么就是要求剩下的生成树的所有边的权值加和最小。
因此该题需要求原图的最小生成树，求出最小生成树的边权值加和，用原图所有边的权值加和减去最小生成树的边权值加和，即为去掉的边权值加和的最大值。

【题解代码】

解法1：Prim算法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
struct Edge
{
    
    
	int t, w;
	Edge(){
    
    }
	Edge(int a, int b):t(a),w(b){
    
    }
};
vector<Edge> edge[N];
bool vis[N];//vis[i]:顶点i是否已被选择
int dis[N];//dis[i]:顶点i距离被选择顶点的最小距离 
int n, m, sumTree, sumAll;//sumAll：所有边的权值加和 sumTree：最小生成树的权值加和 
void prim()
{
    
    
	memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
	dis[1] = 0;//先选择顶点1 
	for(int k = 1; k <= n; ++k)//循环n次，每次取出一个顶点 
	{
    
    
		int u = 0;//dis中最小值的下标 
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
			if(vis[i] == false && (u == 0 || dis[i] < dis[u]))
				u = i;
		sumTree += dis[u];
		vis[u] = true;
		for(Edge e : edge[u])
			if(vis[e.t] == false && dis[e.t] > e.w)
				dis[e.t] = e.w;
	}
}
int main()
{
    
    
	int f, t, w;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
    
    
		cin >> f >> t >> w;
		edge[f].push_back(Edge(t, w));
		edge[t].push_back(Edge(f, w));
		sumAll += w;
	}
	prim();
	cout << sumAll - sumTree;
	return 0;
}

解法2：Prim算法堆优化

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
struct Edge
{
    
    
	int t, w;
	Edge(){
    
    }
	Edge(int a, int b):t(a),w(b){
    
    }
};
struct Pair
{
    
    
	int v, d;//v：顶点 d：顶点v到已选择顶点的距离
	Pair(){
    
    }
	Pair(int a, int b):v(a), d(b){
    
    }
	bool operator < (const Pair &b) const
	{
    
    
		return b.d < d;//到已选择顶点距离更小的数对更优先 
	}
};
vector<Edge> edge[N];//邻接表 
int n, m, sumTree, sumAll, dis[N];//dis[i]：顶点i到已经选择的顶点的最小距离 
bool vis[N];//vis[i]：顶点i是否已经被选择 
void prim()
{
    
    
	priority_queue<Pair> pq;
	memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
	dis[1] = 0;
	pq.push(Pair(1, 0));
	int visNum = 0;//已经访问的顶点数 
	while(pq.empty() == false)
	{
    
    
		int u = pq.top().v, d = pq.top().d;
		pq.pop();
		if(vis[u])
			continue;
		vis[u] = true;
		sumTree += d;//sumTree：最小生成树边权加和
		if(++visNum == n)
			break;
		for(Edge e : edge[u])
		{
    
    
			if(vis[e.t] == false && dis[e.t] > e.w)
			{
    
    
				dis[e.t] = e.w;
				pq.push(Pair(e.t, dis[e.t]));
			}	
		}
	}
}
int main()
{
    
    
	int f, t, w;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
    
    
		cin >> f >> t >> w;
		edge[f].push_back(Edge(t, w));
		edge[t].push_back(Edge(f, w));
		sumAll += w;//sumAll:所有边权加和 
	}
	prim();
	cout << sumAll - sumTree;
	return 0;
}

解法3：Kruskal算法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
struct Edge
{
    
    
	int f, t, w;
	Edge(){
    
    }
	Edge(int a, int b, int c):f(a),t(b),w(c){
    
    }
};
int n, m, edgeNum, sumTree, sumAll, fa[N];
bool vis[N];
vector<Edge> edges;
bool cmp(Edge a, Edge b)
{
    
    
	return a.w < b.w;
}
void initFa()
{
    
    
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		fa[i] = i;
}
int find(int x)
{
    
    
	if(x == fa[x])
		return x;
	else
		return fa[x] = find(fa[x]);
}
void merge(int x, int y)
{
    
    
	fa[find(x)] = find(y);
}
void kruskal()
{
    
    
	sort(edges.begin(), edges.end(), cmp);
	for(Edge e : edges)
	{
    
    
		if(find(e.f) != find(e.t))
		{
    
    
			sumTree += e.w;
			merge(e.f, e.t);
			if(++edgeNum == n-1)
				return;
		}
	}
}
int main()
{
    
    
	int f, t, w;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
    
    
		cin >> f >> t >> w;
		edges.push_back(Edge(f, t, w));
		sumAll += w;
	}
	initFa();
	kruskal();
	cout << sumAll - sumTree;
	return 0;
}