图论：
【阿良的算法之路】图论最短路算法模板
【模板】dirjkstra单源最短路径
参考题目：
题目描述
给定一个 nn 个点，mm 条有向边的带非负权图，请你计算从 ss 出发，到每个点的距离。
数据保证你能从 ss 出发到任意点。
输入格式
第一行为三个正整数 n, m, sn,m,s。 第二行起 mm 行，每行三个非负整数 u_i, v_i, w_iui,vi,wi，表示从 u_iui 到 v_ivi 有一条权值为 w_iwi 的有向边。
输出格式
输出一行 nn 个空格分隔的非负整数，表示 ss 到每个点的距离。
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import heapq
from collections import defaultdict
# 核心代码
def dirjkstra():
# 各节点到start的最短距离
dirs = [float('inf')] * (n + 1)
dirs[start] = 0
# 已用节点，比set还快20% 所有没有释放False
seen = [False] * (n + 1)
pq = []
heapq.heappush(pq, (0, start))
# BFS
while pq:
# 获取
_, u = heapq.heappop(pq)
# 该节点是否用过
if seen[u]:
continue
else:
seen[u] = True
# 找到邻接节点
nodeList = graph[u]
for v, w in nodeList:
t = dirs[u] + w
if t < dirs[v]:
dirs[v] = t
# 如果该邻接节点没有访问过才把该最短边加进去
if not seen[v]:
heapq.heappush(pq, (t, v))
if dirs[-1] == float('inf'):
return -1
else:
return dirs[-1]
# 输入
n, m = map(int, input().split())
# 初始化
start = 1
# 建图
graph = defaultdict(list)
for _ in range(m):
u, v, w = map(int, input().split())
graph[u].append((v,w))
answer = dirjkstra()
print(answer)【模板】Bellman-Ford多源最短路
参考题目：
题目描述
给定一个 nn 个点 mm 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。
请你求出从 11 号点到 nn 号点的最多经过 kk 条边的最短距离，如果无法从 11 号点走到 nn 号点，输出 impossible。
注意：图中可能 存在负权回路 。
输入格式
第一行包含三个整数 n,m,kn,m,k。
接下来 mm 行，每行包含三个整数 x,y,zx,y,z，表示存在一条从点 xx 到点 yy 的有向边，边长为 zz。
输出格式
输出一个整数，表示从 11 号点到 nn 号点的最多经过 kk 条边的最短距离。
如果不存在满足条件的路径，则输出 impossible。
数据范围
1≤n,k≤5001≤n,k≤500,
1≤m≤100001≤m≤10000,
任意边长的绝对值不超过 1000010000。
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# new_list = list ！！当list的值改变了new_list也会随着改变
# 正确做法： new_list = list(list)
n, m, k = map(int, input().split())
edgeList = [tuple(map(int, input().split())) for _ in range(m)]
dirs = [float('inf') for _ in range(n + 1)]
dirs[1] = 0
for _ in range(k):
back = list(dirs)
for u, v, w in edgeList:
dirs[v] = min(dirs[v], back[u] + w)
if dirs[-1] == float('inf'):
print('impossible')
else:
print(dirs[-1])【模板】Spfa求最短路
题目描述：
给定一个n 个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。请你求出1号点到n 号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出impossible 。数据保证不存在负权回路。
输入格式：
第一行包含整数n和m。接下来m行每行包含三个整数a, y,z，表示存在一条从点α到点g的有向边，边长为z。
输出格式：
输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离。如果路径不存在，则输出impossible。
数据范围：
输入样例：
3 3
1 2 5
2 3 -3
1 3 4输出样例：
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# 队列存储距离有更新的点
def spfa():
dirs = [float('inf')] * (n + 1) # 存储到1节点的最短距离
dirs[1] = 0
seen = [False] * (n + 1) # 该节点是否在队列中
q = [1]
while len(q):
u = q.pop(0)
seen[u] = False
for v, w in g[u]:
if dirs[u] + w < dirs[v]:
dirs[v] = dirs[u] + w
# 如果该邻接节点没有访问过才把该点加进去
if not seen[v]:
q.append(v)
seen[v] = True
if dirs[-1] == float('inf'):
return 'impossible'
else:
return dirs[-1]
# 建边
n, m = map(int, input().split())
g = {x: [] for x in range(1, n + 1)}
for _ in range(m):
a, b, w = map(int, input().split())
g[a].append((b, w))
ans = spfa()
print(ans)【模板】Spfa判断负环
题目描述：
给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
请你判断图中是否存在负权回路。
输入格式：
第一行包含整数n和m。
接下来m行每行包含三个整数x, y, z, 表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。
输出格式：
如果图中存在负权回路，则输出Yes，否则输出No。
数据范围：
输入样例：
3 3
1 2 -1
2 3 4
3 1 -4输出样例：
Yes
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from collections import deque, defaultdict
def spfa():
dirs = [0] * (n + 1) # 表示的是1到s的最短距离
seen = [False] * (n + 1) # 该节点是否走过
cnt = [0] * (n + 1) # 表示的是当前最短路的边的数量
q = deque([x for x in range(1, n + 1)])
while len(q):
u = q.popleft()
seen[u] = False
for v, w in g[u]:
t = dirs[u] + w
if t < dirs[v]:
dirs[v] = t
cnt[v] = cnt[u] + 1
if cnt[v] >= n:
return True
if not seen[v]:
q.append(v)
seen[v] = True
return False
# 建图模板
n, m = map(int, input().split())
g = defaultdict(list)
for _ in range(m):
u, v, w = map(int, input().split())
g[u].append((v, w))
print("Yes" if spfa() else "No")【模板】Floya
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def floyd():
for k in range(1, n + 1):
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, n + 1):
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j])
return
n, m, k = map(int, input().split())#输入
dp = [[float('inf')] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]#开dp数组
# d[i][j] 结点i到结点j的最短距离
for i in range(1, n + 1): # 结点i到自己为0
dp[i][i] = 0
for _ in range(m): # m 条有向边
u, v, w = map(int, input().split())
dp[u][v] = min(dp[u][v], w) # 连边中u可能等于v此时选择最小的
# 解决重边和自环 都选最小的
floyd()
for _ in range(k):
u, v = map(int, input().split())
print('impossible' if dp[u][v]==float('inf') else dp[u][v])【模板】Kruskal最小生成树
题目描述：
给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。
给定一张边带权的无向图=(V,E)，其中V表示图中点的集合，E表示图中边的集合，n=|V\，m =|E。
由V中的全部n个顶点和E中n―1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图的最小生成树。
输入格式：
第一行包含两个整数n和m。
接下来m行，每行包含三个整数u, v, ww，表示点u和点v之间存在一条权值为w的边。
输出格式：
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible 。
数据范围：
输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4输出样例：
6
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from collections import defaultdict, deque
def find(x):
if not p[x] == x:
p[x] = find(p[x])
return p[x]
n, m = map(int, input().split())
p = [_ for _ in range(n + 1)]
g = []
for _ in range(m):
g.append(tuple(map(int, input().split())))
g.sort(key=lambda x:x[2])
cnt = 0
res = 0
for u, v, w in g:
eu = find(u)
ev = find(v)
if eu == ev: continue
p[ev] = eu
res += w
cnt += 1
print('impossible') if not cnt == n - 1 else print(res)