融合互利共生和透镜成像学习的哈里斯鹰优化算法-附代码

融合互利共生和透镜成像学习的HHO优化算法

摘要： 针对哈里斯鹰优化算法收敛速度慢、易陷入局部最优的问题，提出一种融合互利共生和透镜成像学习的哈里斯鹰优化算法（Improved Harris Hawk Optimization，IHHO）。首先，利用Tent混沌映射初始化种群，增加种群多样性，提高算法寻优性能；其次，在探索阶段融入一种互利共生思想，并引入非线性惯性因子，以增强种群信息交流，加快算法收敛速度；然后，提出一种透镜成像反向学习策略，对哈里斯鹰位置以一定概率进行扰动变异，提高算法跳出局部最优的能力。

1.哈里斯鹰优化算法

基础哈里斯鹰优化算法的具体原理参考，我的博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/108528147

2.改进哈里斯鹰优化算法

2.1 Tent 混沌初始化种群

为了使初始哈里斯鹰种群均匀分布在搜索空间 中, 考虑到 Tent 映射具有良好的遍历性, 利用 Tent 映射初始化种群。Tent 映射公式如下:
$$Z_{k+1}=\{\begin{array}{c}{Z}_k/a,0\le Z_k<a\\ \left(1-Z_k\right)/(1-a),a\le Z_k\le 1\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$
式中： $a$ 一般取 $0.4$ 。将产生的混沌序列映射到解的搜 索空间内:
$$x_{id}=x_{\mathrm{L}}+\left(x_{\mathrm{U}}-x_{\mathrm{L}}\right)\cdot z_{id}\text{ (14) }$$
式中: $x_{id}$ 为第 $i$ 只哈里斯鹰在第 $d$ 维的位置, $x_{\mathrm{U}}$ 和 $x_{\mathrm{L}}$ 分 别为搜索空间的上下限, $z_{id}$ 为式(13)产生的混沌序列。

2.2 融合互利共生思想

$\mathrm{HHO}$ 算法在探索阶段会移动到随机选择的哈里 斯鹰位置附近, 种群位置的更新受随机性影响较大, 个体间缺乏信息交流，容易导致盲目搜索，造成算法 收敛速度下降, 寻优精度降低 ${}^{[16]}$ 。
共生生物搜索算法(Symbiotic Organisms Search, $\mathrm{SOS})$ 是 Cheng 等[17]于 2014 提出的一种基于生物学中 共生现象的启发式搜索算法。SOS 算法主要分为互利 阶段、共栖阶段和寄生阶段。在互利阶段, 两只个体 $X_i$ 和 $X_j$ 保持着交互关系, 交互后的位置更新公式分别 由式(15)和式(16)表示。
$$X_i^{\text{new }}=X_i+\mathrm{rand}(0,1)\times \left(X_{\text{best }}-R_{MV}\times b{f}_1\right)(15)$$
$$\begin{array}{r}{X}_j^{new}=X_j+\mathrm{rand}(0,1)\times \left(X_{best}-R_{MV}\times b{f}_2\right)(16)\\ R_{MV}=\left(X_i+X_j\right)/2(17)\end{array}$$
式中: $X_{best}$ 为最优个体位置; $b{f}_1$ 和 $b{f}_2$ 为利益因子,
随机选择为 1 或 2 , 表示可能得到部分受益或完全受
益; $R_{MV}$ 表示 $X_i$ 和 $X_j$ 的交互关系。
考虑到 $\mathrm{SOS}$ 在互利阶段, 两只个体间具有较强的 信息交流, 本文将当前个体与随机选择个体进行交互, 并加人最优哈里斯鹰进行引导搜索。在此基础上, 引 人惯性权重, 提出一种改进的探索阶段搜索策略, 公 式如下：
$$X(t+1)=\{\begin{array}{c}X(t)-w\cdot r_1\left(X_{\text{rabbit }}(t)-R_{MV}\times bf\right),q\ge 0.5\\ \left(X_{\text{rabbit }}(t)-X_m(t)\right)-r_3\left(lb+r_4(ub-lb)\right),q<0.5\end{array}\text{\hspace{1em}(18)}$$
$$R_{MV}=\left(X(t)+X_{\text{rand }}(t)\right)/2\text{\hspace{1em}(19)}$$

式中: $X_{\text{rand }}(t)$ 为随机选取的哈里斯鹰位置; $r_1$ 为 0 到 1 的随机数; $bf$ 为利益因子; $w$ 为惯性权重, 公式如下:
$$w=w_{\min }+\left(w_{\max }-w_{\min }\right)\cdot \exp \left(-{\left(\frac{2t}{T}\right)}^3\right)(20)$$
其中, $w_{\text{max }}$ 和 $w_{\text{min }}$ 分别为惯性权重初值与终值。经大 量仿真测试, 当取 $w_{\text{max }}=1.2,w_{\text{min }}=0.4$ 时测试效果最佳。 式(18)中, $R_{MV}$ 为当前个体与随机选择个体的交互 关系, 改进后哈里斯鹰会以最优位置 $X_{rabbit}(t)$ 和交互 关系 $R_{MV}$ 为导向移动到当前位置附近。通过交互关系 与最优哈里斯鹰的引导, 当前个体与其它个体间的信 息交流更加丰富, 哈里斯鹰在探索阶段会根据收集到 的信息向全局最优位置探索, 避免了随机选择导致的 盲目搜索。非线性递减的惯性因子使得算法在探索前 期能够大范围搜索, 在探索后期缩小搜索范围, 同时 加快收敛速度。

2.3 透镜成像反向学习策略

基于透镜 成像原理的反向学习公式如下:
$$x_j^{\ast }=\frac{a_j+b_j}{2}+\frac{a_j+b_j}{2k}-\frac{x_j}{k}\text{\hspace{1em}(25)}$$
式中: $a_j$ 和 $b_j$ 分别为搜索空间中第 $j$ 维的最小值与最 大值。 $x_j$ 为当前个体在第 $j$ 维的分量, $x_j^{\ast }$ 为 $x_j$ 的透镜 反向解。

HHO 算法在迭代后期种群多样性降低，哈里斯鹰群体聚集在最优个体位置附近，当最优个体陷入局部最优时难以跳出局部极值空间区域，导致算法早熟，寻优精度下降。本文采用透镜成像学习策略对哈里斯鹰群体进行扰动, 以增强种群多样性, 提高算法跳出 局部最优的可能性。
调节因子 $k$ 是影响透镜成像学习性能的一个重要 参数。考虑到较小的 $k$ 值生成的反向解范围更大, 而 较大的 $k$ 值能产生小范围内反向解, 结合 $\mathrm{HHO}$ 算法 迭代前期大范围探索及迭代后期局部精细搜索的特点, 本文提出一种随迭代次数变化的调节因子:
$$k={\left(1+{\left(\frac{t}{T}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{10}\text{\hspace{1em}(26)}$$
其中, $t$ 为当前迭代次数, $T$ 为最大迭代次数。由于式 (25)中 $k$ 作为分母调节反向解, 随着迭代次数增加, $k$ 值变大, 透镜成像反向学习的反向解范围越来越小, 这 种调节方式增强了算法迭代后期局部位置的精细搜索。
每次迭代都对哈里斯鹰群体进行扰动会增加算法 的运行成本。因此, 本文嵌人一种基于迭代次数和最 优适应度值的观测算子, 来观测算法是否陷人局部最 优，表达式如下:
$$\beta =f_{\text{best }}^t+\lg {\left(\frac{t}{T}\right)}^3\text{\hspace{1em}(27)}$$
其中, $f_{\text{best }}^t$ 为第 $t$ 次迭代最优适应度值。若随机数 $\mathrm{rand}(0,1)<\beta$, 则认为算法已陷人局部最优, 此时对哈 里斯鹰群体进行透镜成像反向学习扰动; 否则不进行 透镜成像学习操作。式(27)中, 若 $f_{\text{best }}^t$ 在迭代多次后末发生改变, 则认 为算法很大程度上陷人局部最优; 此时, 随着迭代次 数增加观测值 $\beta$ 变大, 进行透镜成像反向学习扰动的 概率增加。若 $f_{\text{best }}^t$ 随着迭代减小的速率小于 $\lg {\left(\frac{t}{T}\right)}^3$ 增 加的速率, 则认为算法有可能陷人局部最优, 相应的 $\beta$ 也会缓慢增大, 有概率进行扰动; 反之, 若 $f_{\text{best }}^t$ 减 小的速率大于 $\lg {\left(\frac{t}{T}\right)}^3$ 增加的速率, 则认为算法陷人局 部最优的可能性较小, 此时 $\beta$ 的值变小, 降低了扰动 概率。
通过透镜成像反向学习产生的反向解, 不一定优 于原始解。因此, 引人贪婪选择策略, 选择是否将原 始解用反向解替代; 即只有当反向解的适应度值更优 时, 才进行替换。公式如下:
$$X(t{)}^{\prime }=\{\begin{array}{c}X(t{)}^{\ast },f\left(X(t{)}^{\ast }\right)<f(X(t))\\ X(t),f\left(X(t{)}^{\ast }\right)\ge f(X(t))\end{array}\text{\hspace{1em}(27)}$$
其中, $X(t{)}^{\ast }$ 为反向解, $X(t{)}^{\prime }$ 为贪婪选择后的哈里斯鹰位置。
当算法陷人局部最优时, 通过观测触发算法产生 透镜成像学习反向解, 利用贪婪策略选择原始解与反 向解中适应度更优的个体, 从而生成位置更佳的哈里 斯鹰群体, 有效避免了迭代后期种群多样性下降, 算 法易早熟收玫的问题。

融合互利共生和透镜成像学习的哈里斯鹰优化算法描述如下：

输人: 搜索空间和目标函数
输出：最优解
01 )参数初始化（种群规模 $N$, 迭代次数 $t$ 等）
02)根据式(13)和式(14)生成初始种群
03) while $(t<T)$
04)计算个体适应度值并排序, 找到最优个体
$05)$ 根据式(26)计算 $k$ 值, 根据式(27)计算 $\beta$ 值
06) if rand $<\beta$
07) for $i=1$ to $N$
08）根据式(25)计算第 $i$ 只个体反向解 $x^{\ast }$
$09)$ if $f\left(x^{\ast }\right)<f(x)$
10) $x=x^{\ast }$ 11) \quad end if
12) end for
13) 计算个体适应度值并排序, 找到最优个体
14)endif
15)根据式(3)计覚 $E$, 根据式(20)计算 $w$
16)for $i=1$ to $N$
17) if $\mathrm{abs}(E)\ge 1$
18)根据式(18)更新种群位置
19) else
20) \quad if $(\mathrm{abs}(E)\ge 0.5)\&\&(r\ge 0.5)$
21) 根据式 (4)更新种群位置
22) end if
23) if $(\mathrm{abs}(E)<0.5)\&\&(r\ge 0.5)$
24) 根据式(6)更新种群位置
25) end if
26) if $(\mathrm{abs}(E)\ge 0.5)\&\&(r<0.5)$
27) 根据式(7) (9)更新种群位置
28) end if
29) if $(\mathrm{abs}(E)<0.5)\&\&(r<0.5)$
30) 根据式 $(10)\sim (12)$ 更新种群位置
31) end if
33) end if
34) end for
36) end while

3.实验结果

4.参考文献

[1]陈功,曾国辉,黄勃,刘瑾.融合互利共生和透镜成像学习的HHO优化算法[J/OL].计算机工程与应用:1-14[2021-10-26].http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20210910.1049.010.html.

5.Matlab代码

6.python代码