动态规划之杨辉三角

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动态规划(Dynamic Programming)是一种分阶段求解决策问题的数学思想,它通过把原问题分解为简单的子问题来解决复杂问题。

杨辉三角

给定一个非负整数 numRows， 生成「杨辉三角」的前 numRows 行。

在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

示例 1:

输入: numRows = 5
输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]
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示例 2:

输入: numRows = 1
输出: [[1]]
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杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。

它有下面几个性质：

1. 每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大再变小，最终变回 1，每行的第一个数和最后一个数都是1,即 dp[i][0] = 1并且 dp[i][i] = 1
2. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]

解法1

fun generate(numRows: Int): List<List<Int>> {
    val dp = Array(numRows) { IntArray(numRows) }
    for (index in 0 until numRows) {
        dp[index][0] = 1
        dp[index][index] = 1
    }
    for (i in 2 until numRows) {
        for (j in 1 until i) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]
        }
    }
    val result = ArrayList<ArrayList<Int>>()
    dp.forEach {
        val r = ArrayList<Int>()
        it.forEach {
            if (it != 0) {
                r.add(it)
            }
        }
        result.add(r)
    }
    return result
}
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解法2

1. 根据实例可以看出它的每一个数组长度都不相同，可以根据第 n 行就定多长就行了。
2. 对于每行的数字， 第一行和第二行都是 1，其他行的开头和结尾都是 1。直接判断当 j == 0 || j == n-1 时，赋值为 1。

public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < numRows; i++) {
        List<Integer> item = new ArrayList<>();
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            if (j == 0 || j == i) {
                item.add(1);
                continue;
            }
            List<Integer> pre = result.get(i - 1);
            item.add(pre.get(j - 1) + pre.get(j));
        }
        result.add(item);
    }
    return result;
}
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复杂度

• 时间复杂度：O(n^2),需要遍历生成每一个数值。
• 空间复杂度：O(n^2),需要存储每一个数。