绝对值 abs

绝对值 (abs.pas/c/cpp)

问题描述

给定一个数 x，求正整数 y≥2，使得满足以下条件：
1.y-x 的绝对值最小；
2.y 的质因数分解式中每个质因数均恰好出现 2 次。

输入数据

第一行输入一个整数 T(1≤T≤50)
每组数据有一行，一个整数 x(1≤x≤10^18)

输出数据

对于每组数据，输出一行 y-x 的最小绝对值。

输入样例

5
1112
4290
8716
9957
9095

输出样例 1

23
65
67
244
70

数据范围

对于 20% 的数据, T = 1, x ⩽ 10^4
对于 50% 的数据, T ⩽ 10, x ⩽ 10^12
对于 70% 的数据, T ⩽ 30, x ⩽ 10^15
对于 100% 的数据, T ⩽ 50, x ⩽ 10^18

题目来源

HDU5778

题解

• 首先先分析题目，每个数的质因子恰好只出现两次，则说明这一个数是完全平方数并且是 质数x质数 或者 多个质数相乘的平方
• 这样一道题第一眼看数据非常大，根据上面的第一步推论编者也想了一个办法……利用素数来筛选由于是完全平方数，则只要考虑$\sqrt{n}$即可，接着就想进行了欧拉素数筛。然而很不幸的事情发生了。10^18次开根即10^9也要十秒钟来筛…这个算法果断放弃。
• 后来仔细想了想，对于由第一步推论可进一步得出，找到最近的质数乘积只需要前后进行搜索，再进行比较即可（看上去很大的数据量其实只要用long long就可以解决，时间复杂度也比之前要低很多）。
• 进行是否合法的质数乘积只需要对于单个质数进行分解（类似于最基础的判断是否为素数），n的质因数每个只出现两次，那么$\sqrt{n}$的质因数都只出现一次，那么$\sqrt[4]{n}$就无法整除任意一个数的平方。
• 这个算法的复杂度是O($\sqrt[4]{n}log\sqrt{n}$)，比最之前的算法效率高的很多。

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上面说的有点绕，直接贴代码来看吧。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
void ff(){
    freopen("abs.in","r",stdin);
    freopen("abs.out","w",stdout);
}
int T,t=0;
bool check(long long z){
    int root=sqrt(z);
    for (int i=2;i<=root;i++){
        if(z%(i*i)==0) return false;
    }
    return true;
}
long long search(long long n){
    long long tt=sqrt(n);
    long long l=tt,r=tt+1,z=0;
    while(true){
        if(n-l*l>r*r-n){//每次找到最近的数
            z=r;
        }else{
            z=l;
        }
        if(check(z)){//判断是否合法
            break;
        }else if(z==l){//进行左右拓展
            l-=1;
        }else{
            r++;
        }
    }
    return (z*z-n);
}
int main(){
    ff();
    scanf("%d",&T);
    for (int i=1;i<=T;i++){
        long long x;
        scanf("%lld",&x);
        printf("%lld\n",abs(search(x)));
    }
}