排队论及排队系统优化

###纲要

• 排队现象与排队系统;

• 排队模型与系统参数;

• 排队系统时间参数分布规律;

• 排队系统的生灭过程与状态转移方程;

• 排队系统分析;

  • 单服务台负指数分布模型
  • 多服务台负指数分布模型

• 排队系统优化分析;

  排队论发源于上世纪初。
  当时美国贝尔电话公司发明了自动电话，以适应日益繁忙的工商业电话通讯需要。这个新发明带来了一个新问题，即通话线路与电话用户呼叫的数量关系应如何妥善解决，这个问题久久未能解决。
  1909年，丹麦的哥本哈根电话公司A.K.埃尔浪(Erlang)在热力学统计平衡概念的启发下予以解决了。

##1.1排队现象与排队系统
###一、排队现象

（1） 由于顾客到达和服务时间的随机性，
 现实中的排队现象几乎不可避免；
（2） 排队过程，通常是一个随机过程，
 排队论又称“随机服务系统理论”；

###二、排队系统
（一）排队服务过程

（二）排队系统的要素及其特征

1. 排队系统的要素：
   （1） 顾客输入过程；
   （2） 排队结构与排队规则；
   （3） 服务机构与服务规则；

2. 排队系统不同要素的主要特征：
   （1）顾客输入过程
   
   （2）排队结构与排队规则
   
   （3）服务机构与服务规则
   

   服务台(员)为顾客服务的顺序:

   • a) 先到先服务(FCFS);
   • b) 后到先服务(LCFS);
   • c) 随机服务;

• d) 优先服务;

##1.2排队模型与系统参数
###一、排队模型
(一)排队模型表示方法

——略去后三项，即指 “**X/Y/Z///FCFS**”；
——这里仅研究FCFS的情形；

(二)到达间隔和服务时间典型分布

（1）泊松分布           **M** ； 
（2） 负指数分布         **M** ； 
（3） k阶爱尔朗分布      **Ek**； 
（4） 确定型分布         **D**； 
（5） 一般服务时间分布   **G**；

(三)排队模型示例

——M/M/1，M/D/1，M/ Ek /1； 
——M/M/c， M/M/c//m，  
——M/M/c/N/ ，。。。

##2.1、系统参数
###(一)系统运行状态参数
####1、系统状态 N(t)
——指排队系统在时刻t时的全部顾客数 N(t)，
包括“排队顾客数”和“正被服务顾客数”；
——系统状态的可能值如下：
（1）系统容量无限制， N(t) =0，1，2，…;
(2) 系统容量为N时, N(t) =0,1,2,…,N;
(3) 服务台个数为c/损失制, N(t) =0,1,2,…,c;
一般,系统状态N(t)是随机的。
####2、系统状态概率：

    ——一般，排队系统运行了一定长的时间后，系统状态的概率分布不再随时间t变化，即初始时刻（t=0）系统状态的概率分布(Pn(0) ，n>>0）的影响将消失。

###(二)系统运行指标参数
——评价排队系统的优劣。
####1、队长与排队长

####2、逗留时间与等待时间
(1)逗留时间:
——指一个顾客在系统中的全部停留时间； 期望值，记为 Ws
(2)等待时间:
——指一个顾客在系统中的排队等待时间；期望值，记为 Wq

      **Ws = Wq + E[服务时间]**

####3、其他相关指标
(1)忙 期: 指从顾客到达空闲服务机构起到服务
机构再次空闲的时间长度；
(2)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成
服务的顾客数；
(3)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务
而离去的概率；
(4)服务强度： = /c ；
##3 排队系统时间参数分布规律

###一、顾客到达时间间隔分布
####(一)泊松流与泊松分布
如果顾客到达满足如下条件,则称为泊松流:
(1) 在不相互重叠的时间区间内，到达顾客数相互独立(无后效性).
(2) 对于充分小的时间间隔内，到达1个顾客的概率与t无关，仅与时间间隔成正比 (平稳性)：
(3) 对于充分小的时间间隔，2个及以上顾客到达的概率可忽略不计 (普通性)。

####(二)泊松流到达间隔服从负指数分布

###二、顾客服务时间分布
####(一)负指数分布

####(二)爱尔朗(Erlang)分布

##3.1 排队系统的生灭过程

###一、排队系统的生灭过程
####(一)生灭过程的背景与定义

####(二)生灭过程状态变化的性质

####(三) 排队系统的生灭过程
(1)生灭过程示意

(2)生灭过程定义

##4 典型排队系统分析
排队系统性能参数的一般关系 ——Little 公式

##4 .1 单服务台负指数分布M/M/1排队系统
. 模型的条件是：

    1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到达完全是随机的，单个到来，到达过程服从普阿松分布，且是平稳的；
    2、排队规则――单队，且队长没有限制，先到先服务；
    3、服务机构――单服务台，服务时间的长短是随机的，服从相同的指数分布 。

对于M／M／1模型有如下公式：

####例1
某医院急诊室同时只能诊治一个病人，诊治时间服从指数分布，每个病人平均需要15分钟。病人按泊松分布到达，平均每小时到达3人。试对此排队系统进行分析。

##4 .2 多服务台负指数分布M/M/S排队系统

####1、状态概率

####2、主要运行指标

####3、系统状态N ≥S的概率

####例2
承接例1，假设医院增强急诊室的服务能力，使其同时能诊治两个病人，且平均服务率相同，试分析该系统工作情况。


####例3
某医院挂号室有三个窗口，就诊者的到达服从泊松分布，平均到达率为每分钟0.9人，挂号员服务时间服从指数分布，平均服务率每分钟0.4人，现假设就诊者到达后排成一队，依次向空闲的窗口挂号，显然系统的容量和顾客源是不限的，属于M/M/S型的排队服务模型。求：该系统的运行指标 ？