下面我们用数学归纳法来解决这个填值的问题。
这里我们借鉴数学归纳法的三个步骤（或者说是动态规划？）：
1、初始状态
2、假设第j位以及第j位之前的我们都填完了
3、推论第j+1位该怎么填
初始状态我们稍后再说，我们这里直接假设第j位以及第j位之前的我们都填完了。也就是说，从上图来看，我们有如下已知条件：
next[j] == k;
next[k] == 绿色色块所在的索引;
next[绿色色块所在的索引] == 黄色色块所在的索引;这里要做一个说明：图上的色块大小是一样的（没骗我？好吧，请忽略色块大小，色块只是代表数组中的一位）。
我们来看下面一个图，可以得到更多的信息：
1.由”next[j] == k;”这个条件，我们可以得到A1子串 == A2子串（根据next数组的定义，前后缀那个）。
2.由”next[k] == 绿色色块所在的索引;”这个条件，我们可以得到B1子串 == B2子串。
3.由”next[绿色色块所在的索引] == 黄色色块所在的索引;”这个条件，我们可以得到C1子串 == C2子串。
4.由1和2(A1 == A2，B1 == B2)可以得到B1 == B2 == B3。
5.由2和3(B1 == B2， C1 == C2)可以得到C1 == C2 == C3。
6.B2 == B3可以得到C3 == C4 == C1 == C2
上面这个就是很简单的几何数学，仔细看看都能看懂的。我这里用相同颜色的线段表示完全相同的子数组，方便观察。
接下来，我们开始用上面得到的条件来推导如果第j+1位失配时，我们应该填写next[j+1]为多少？
next[j+1]即是找strKey从0到j这个子串的最大前后缀：
#：(#:在这里是个标记，后面会用)我们已知A1 == A2，那么A1和A2分别往后增加一个字符后是否还相等呢？我们得分情况讨论：
(1)如果str[k] == str[j]，很明显，我们的next[j+1]就直接等于k+1。
用代码来写就是next[++j] = ++k;
(2)如果str[k] != str[j]，那么我们只能从已知的，除了A1，A2之外，最长的B1，B3这个前后缀来做文章了。
那么B1和B3分别往后增加一个字符后是否还相等呢？
由于next[k] == 绿色色块所在的索引，我们先让k = next[k]，把k挪到绿色色块的位置，这样我们就可以递归调用”#：”标记处的逻辑了。
由于j+1位之前的next数组我们都是假设已经求出来了的，因此，上面这个递归总会结束，从而得到next[j+1]的值。
我们唯一欠缺的就是初始条件了：
next[0] = -1, k = -1, j = 0
另外有个特殊情况是k为-1时，不能继续递归了，此时next[j+1]应该等于0，即把j回退到首位。
即 next[j+1] = 0; 也可以写成next[++j] = ++k;
这里我们用Java来描述：
“`
public static int[] getNext(String ps)
{
char[] strKey = ps.toCharArray();
int[] next = new int[strKey.length];
// 初始条件
int j = 0;
int k = -1;
next[0] = -1;
// 根据已知的前j位推测第j+1位
while (j < strKey.length - 1)
{
if (k == -1 || strKey[j] == strKey[k])
{
next[++j] = ++k;
}
else
{
k = next[k];
}
}
return next;
}
##三。KMP算法的优化和改进
KMP算法是可以被进一步优化的。
我们以一个例子来说明。譬如我们给的P字符串是“abcdaabcab”，经过KMP算法，应当得到“特征向量”如下表所示：
但是，如果此时发现p(i) == p(k），那么应当将相应的next[i]的值更改为next[k]的值。经过优化后可以得到下面的表格：
- （1）next[0]= -1 意义：任何串的第一个字符的模式值规定为-1。
- （2）next[j]= -1 意义：模式串T中下标为j的字符，如果与首字符
相同，且j的前面的1—k个字符与开头的1—k
个字符不等（或者相等但T[k]==T[j]）（1≤k
如：T=”abCabCad” 则 next[6]=-1，因T[3]=T[6]
-（3）next[j]=k 意义：模式串T中下标为j的字符，如果j的前面k个
字符与开头的k个字符相等，且T[j] != T[k] （1≤k
即T[0]T[1]T[2]。。。T[k-1]==
T[j-k]T[j-k+1]T[j-k+2]…T[j-1]
且T[j] != T[k].（1≤k
- (4) next[j]=0 意义：除（1）（2）（3）的其他情况。
于是乎我们修正的NEXT数组的求法如下：public static int[] getNext(String ps)
{
char[] strKey = ps.toCharArray();
int[] next = new int[strKey.length];
// 初始条件
int j = 0;
int k = -1;
next[0] = -1;
// 根据已知的前j位推测第j+1位
while (j < strKey.length - 1)
{
if (k == -1 || strKey[j] == strKey[k])
{
// 如果str[j + 1] == str[k + 1]，回退后仍然失配，所以要继续回退
if (str[j + 1] == str[k + 1])
{
next[++j] = next[++k];
}
else
{
next[++j] = ++k;
}
}
else
{
k = next[k];
}
}
return next;
}
“`
好了，以上就是KMP算法的所有内容，我们可以看出，KMP算法的关键就是：利用匹配失败后的信息，利用递归的思想为每一个字符算出一个“特征值”。最后，KMP算法适合在字符种类很稀疏的情况下适用：仅当模式与主串之间存在许多“部分匹配”的情况下才显得比“暴力匹配”快，但是如果模式串中有太多相同的字符，就会略微降低KMP的优化效果。KMP算法还有一个进步特点就是：指示主串的指针不需要回溯，对主串仅需从头至尾扫描一遍。
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