《DP学习系列》从零开始学习动态规划，初识01背包（一）

1. 本系列计划

　　笔者大概预览了下《DSAA》的动态规划章节，不是很具体。经过一些思索及求教老司机，总结了下面的学习路线：
　　

完成《背包9讲》
根据英文版《算法导论》详细学习DP章节
将Leetcode近期所保留的DP问题，重新做一遍。

　　本文适合那些和笔者一样，从来没有接触过动态规划的初学者。这样的学习计划，从某种程度是科学的。现在开始的引用都来自崔添翼的背包９讲。

2. 初识01背包

问题：有 $N$ 件物品和一个容量为 $V$ 的背包。放入第 i 件物品耗费的费用是 $C_{i}$ ，得到的价值是 $W_{i}$ 。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

解法：使用 $F [i, v]$ 表示前 $i$ 件物品恰放入一个容量为 $v$ 的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
　　 $F[i,v] = max\{F[i − 1, v], F[i − 1,v − C_{i}] + W_i\}$

　　首先跳出来问题本身，思考为什么要定义子问题？虽然是初学者，但是观察不难发现，为了导出递推公式（又叫状态转移公式），那么以递推的方式，可以从初始条件得到最终问题的解。如果是求最优解，则将递推过程中的中间值进行比较（递推本身就要求存储上一次的值了），求得最终解。
　　上面的思考，是没有系统学习动态规划的人直观的感受，在以后的算法导论部分，会有更加准确的定义。回到这个问题，理解上面的解法不难，其他博文很多。
　　笔者的思考如下：

定义了状态（子问题）： $F[i,v]$ 代表当前 $i,v$ 下的解，特别注意i代表前i个数。
$F[i,v]$ 到下一个状态的状态转换方程（特别与上文区分来真正理解转换方程的意义）
$F[i+1,k] = max\{ F[i,v+C_{i+1}]+W_{i+1}, F[i,v]\}$ ，不管怎么样都觉得别扭。也代表了在编程实现上更加复杂，不如上面的原式。（可以初步认为定义当前状态到上一个状态的递推更加适合编程实现）

　　理解两个状态的变迁，应抛开原来的问题，转化成思考两个状态的关系的问题，这往往不是困难的，所以DP问题的目前来看准确定义状态（子问题）是最核心步骤！

3. 优化01背包

F [0,0] F[0,1] ...F[0,V] 初始化为 0
for i=1 to N
    for v= 0 to V
        F [i, v]= max{F[i − 1, v],F[i−1,v−Ci]+Wi}

　　同构观察状态转移方程F[i,v]与F[i-1,v]和F[i-1,v-ci]，将第二个for循环优化：

F [0,0] F[0,1] ...F[0,V] 初始化为 0
for i=1 to N
    for v= Ci to V//v不用取到 0-Ci
        F [i, v]= max{F[i − 1, v],F[i−1,v−Ci]+Wi}

　　思考算法本质，将F[x,y]遍历，意味着最坏空间复杂度为 $O(NV)$ ，时间复杂度为 $O(NV)$ 。观察状态转移方程F[i,v]只与F[i-1,v]和F[i-1,v-ci]有关，意味着可能在空间上的优化（只要F[i,v]与部分密集的过去状态有关，都可能将空间压缩），此时将原本的矩阵压缩成一行，该方式笔者目前的理解是从二元状态转移方程优化得来，不清楚是不是能直接根据某种逻辑得到一维状态转移方程，以下为错误的伪代码：

F[0...V] 初始化为 0
    for i=1 to N
        for v=Ci to V
            F [v] = max{F[v], F [v − Ci] + Wi}

　　上述伪代码在F[v-Ci]时，可能因为旧值已经改变而发生错误。根据memcpy中使用的解决内存重叠的技巧，这里也可以效仿，将v取V到Ci。得到如下：

F[0...V] 初始化为 0
    for i=1 to N
        for v=V to ci
            F [v] = max{F[v], F [v − Ci] + Wi}

4. 初始化的细节问题

如果恰好装满背包，那么在初始化时除了F[0] 为 0，其它F[1…V] 均设为 $−\infty$ ，这样就可以保证最终得到的 F[V]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将F[0…V]全部设为 0。

可以这样理解：初始化的 F 数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为 0 的背包可以在什么也不装且价值为 0 的情况下被“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，应该被赋值为 $−\infty$ 了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为 0，所以初始时状态的值也就全部为 0了。

　　以上原作者的论述，有一点不太充分：合理的解释了初值在不同前提条件的下的状态，但是状态转移方程是否还保持正确呢？
　　 $F[i,v] = max\{F[i − 1, v], F[i − 1,v − C_{i}] + W_i\}$ ，假设前提是背包装满，那么 $F[i,v]$ 定义变成在前i个物品和背包容量 $v$ 被装满的前提下的最大价值。此时状态转移方程依然符合！
　　换一个角度，如果是自己去做类似的题，从逻辑出发，一步步推导很可能写出来 $F[i,v] = F[i − 1,v − C_{i}] + W_i$ 的结论，因为我们总假设过去的状态是满的，只能通过扩充v的容量，来转移状态。但是在该前提下，第i个物件并没有被装入的情况依然是满足定义的，F[i-1,v]=F[i,v]=[i+1,v]....都是符合前面状态定义的。

5. 总结

　　本文分析了一些在《背包九讲》中没有提及的细节，从初学者的角度最大程度的挖深思考空间，将今后学习动态规划的重点放在状态的定义上。上面的伪代码也可以用递归来实现，有的情况递归和迭代并不能相互代替，这在笔者以前的leetcode总结中也提到过。　　