零基础学习算法：动态规划-01背包问题

1. 原题

假定现有物品：

名称	重量	价值
1. 苹果	1	15
2. 香蕉	3	20
3. 西瓜	4	30

背包容量为 4 ，求背包能装的最大价值。

2. 牺牲空间换时间的动态规划

想要求解01背包，我们可以先建立一个二维表

	容量0	容量1	容量2	容量3	容量4
考虑前0个
考虑前1个
考虑前2个
考虑前3个

所谓容量x：指该容量下的背包（例如：容量3->指背包容量为3的背包）
所谓考虑前x个：指仅仅考虑该位次以及该位次前的所有物体（例如：考虑前2个->指仅考虑 1. 苹果 2. 香蕉而不考虑 3. 西瓜）

问：为什么要这样建立一个二维表？
答：这正是动态规划的精髓所在，牺牲空间换时间。你可以这样理解：我们想要求的是表格右下角的容量5，考虑前3个的格子。
而之前建立的所有表单，都像是为了这一格子做的经验积累，通过以前的经验，得到该情况下的最好结果。

填0

	容量1	容量2	容量3	容量4
考虑前0个	0	0	0	0
考虑前1个
考虑前2个
考虑前3个

第一步，我们可以很轻松的得出一个结论：没有容量的背包装不下任何东西，没有东西要装再大的背包也没有意义。
因此我们可以将第一行和第一列置为0

填写第二行表单
我们先来填写容量1 考虑前1个（苹果）的情况：
物品1（苹果）的重量为1，那么它当然可以装到容量为1的背包里，因此这个时候背包的最大价值为15（装入苹果）

新表：

	容量1	容量2	容量3	容量4
考虑前0个	0	0	0	0
考虑前1个	15
考虑前2个
考虑前3个

而在之后，我们很容易发现：仅考虑物品1（苹果）时，再大的背包也没有意义了，因为只有1个物品1（苹果）可装，再大的背包也只是1个价值15的物品1（苹果）

新表：

	容量1	容量2	容量3	容量4
考虑前0个	0	0	0	0
考虑前1个	15	15	15	15
考虑前2个
考虑前3个

填写第三行表单

我们先来填写容量1 考虑前2个（苹果，香蕉）的情况：
物品1（苹果）的重量为1，物品2（香蕉）的重量为3，那么至少要有3格大的背包才能装入这么大的香蕉，因此我们明白：容量1，容量2的背包最大价值依旧是15

新表：

	容量1	容量2	容量3	容量4
考虑前0个	0	0	0	0
考虑前1个	15	15	15	15
考虑前2个	15	15
考虑前3个

接下来，有趣的事情发生了：
当背包变成3格大的时候，新的物品物品2（香蕉）已经可以被装入背包了，这时候我们有两个选择：
a. 不装入香蕉
b. 装入香蕉
我们先来看不装入香蕉的情况：
如果我们不装入香蕉，那么相当于该格子变成了：容量3 考虑前1个（苹果）的背包，而这样的背包我们已经计算过了。没错，最大价值就是上方的15。
我们再来看装入香蕉的情况：
如果我们装入香蕉，那么该格子必须要腾出3格大的空间让我们放下物品2（香蕉）。这也意味着进行该行为之后，该格子的剩余空间变成了可怜的容量0。
这也相当于变成了：容量0 考虑前1个（苹果）的背包 + 1个物品2（香蕉），而容量0 考虑前1个（苹果）这样的背包我们已经计算过了。没错，最大价值就是左上方的0。
那么该情况下最大价值变成了香蕉的20价值。
最后进行比较：
15<20，所以该格子最大价值为20

新表：

	容量1	容量2	容量3	容量4
考虑前0个	0	0	0	0
考虑前1个	15	15	15	15
考虑前2个	15	15	20
考虑前3个

接下来，我们仿照刚才的再来一次：
当背包变成4格大的时候，我们有两个选择：
a. 不装入香蕉
b. 装入香蕉
我们先来看不装入香蕉的情况：
如果我们不装入香蕉，那么相当于该格子变成了：容量4 考虑前1个（苹果）的背包，而这样的背包我们已经计算过了。没错，最大价值就是上方的15。
我们再来看装入香蕉的情况：
如果我们装入香蕉，那么该格子必须要腾出3格大的空间让我们放下物品2（香蕉）。这也意味着进行该行为之后，该格子的剩余空间变成了的容量1。
这也相当于变成了：容量1 考虑前1个（苹果）的背包 + 1个物品2（香蕉），而容量1 考虑前1个（苹果）这样的背包我们已经计算过了。没错，最大价值就是左上方的15。
那么该情况下最大价值变成了35价值。
最后进行比较：
15<35，所以该格子最大价值为35

新表：

	容量1	容量2	容量3	容量4
考虑前0个	0	0	0	0
考虑前1个	15	15	15	15
考虑前2个	15	15	20	35
考虑前3个

3. 完成表单

最终表：

	容量1	容量2	容量3	容量4
考虑前0个	0	0	0	0
考虑前1个	15	15	15	15
考虑前2个	15	15	20	35
考虑前3个	15	15	20	35

而结果，自然是35。