人总得接受平凡和遗憾，但那不是一直自甘堕落的理由。显贵出身也好，泥腿子出身也罢，人生一世，你不仅为自己而活，你还承担着家族崛起的使命，是承上启下的一代，往大了说，也是国家、社会的一份子，总得做些有意义的事情。一无所有没关系，慢慢来嘛，愚公移山，一代一代，生由天定，命由己握。山水一程，各有其路，等时间惭愧，等天光大亮。 ——By 新晓·故知
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后记：●由于作者水平有限，文章难免存在谬误之处，敬请读者斧正，俚语成篇，恳望指教！ ——By 作者：新晓·故知
1.什么是时间复杂度和空间复杂度？
1.1算法效率
算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。
时间效率被称为时间复杂度， 而空间效率被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间 复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。
所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
1.2 时间复杂度的概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运 行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机 器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻 烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
注：
程序运行时间的计算与硬件设备有关。
1.3 空间复杂度的概念
空间复杂度是对一个算法在运行过程中
临时占用存储空间大小的量度
。空间复杂度不是程序占用
了多少
bytes
的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计
算规则基本跟实践复杂度类似，也使用
大
O
渐进表示法
。
1.4 复杂度计算在算法的意义
（1）面试时相关问题
（2）算法题目要求
2.如何计算常见算法的时间复杂度？
2.1.1大O的渐进表示法
// 请计算一下Func1基本操作执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
for (int j = 0; j < N; ++j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
Func1
执行的基本操作次数 ：
N = 10 F(N) = 130N = 100 F(N) = 10210N = 1000 F(N) = 1002010
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要
大概执行次
数，那么这里我们使用大
O
的渐进表示法。
大
O
符号（
Big O notation
）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大
O
阶方法：
1 、用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。2 、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。3 、如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大 O 阶。
使用大
O
的渐进表示法以后，
Func1
的时间复杂度为：
N = 10 F(N) = 100N = 100 F(N) = 10000N = 1000 F(N) = 1000000
通过上面我们会发现大
O
的渐进表示法
去掉了那些对结果影响不大的项
，简洁明了的表示出了执
行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数 ( 上界 )平均情况：任意输入规模的期望运行次数最好情况：任意输入规模的最小运行次数 ( 下界 )
例如：
在一个长度为
N
数组中搜索一个数据
x
最好情况： 1 次找到最坏情况： N 次找到平均情况： N/2 次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
2.2常见时间复杂度计算举例
实例
1
：
// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
实例
2
：
// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N; ++k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}实例3：
// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}实例4：
// 计算strchr的时间复杂度？
const char* strchr(const char* str, char character)
{
while (*str != '\0')
{
if (*str == character)
return str;
++str;
}
return NULL;
}实例5：
// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n) {
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}实例6：
// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n;
while (begin < end)
{
int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
if (a[mid] < x)
begin = mid + 1;
else if (a[mid] > x)
end = mid;
else
return mid;
}
return -1;
}实例7：
// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
return N < 2 ? N : Factorial(N - 1) * N;
}实例答案及分析：
1. 实例 1 基本操作执行了 2N+10 次，通过推导大 O 阶方法知道，时间复杂度为 O(N)2. 实例 2 基本操作执行了 M+N 次，有两个未知数 M 和 N，时间复杂度为 O(N+M)
3. 实例3基本操作执行了10次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)
4. 实例 4 基本操作执行最好 1 次，最坏 N 次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)5. 实例 5 基本操作执行最好 N 次，最坏执行了 (N*(N+1)/2 次，通过推导大 O 阶方法 + 时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)6. 实例 6 基本操作执行最好 1 次，最坏 O(logN) 次，时间复杂度为 O(logN) ps ： logN 在算法分析中表示是底数为 2 ，对数为 N 。有些地方会写成 lgN 。（建议通过折纸查找的方式讲解 logN 是怎么计算出来的）7. 实例 7 通过计算分析发现基本操作递归了 N 次，时间复杂度为 O(N) 。
注：
1.冒泡排序法两种表示方法：
代码不同！
#include <stdio.h> #include <assert.h> int BinarySearch(int* a, int n, int x) { assert(a); int begin = 0; int end = n; while (begin < end) { int mid = begin + ((end - begin) >> 1); if (a[mid] < x) begin = mid+1; else if (a[mid] > x) end = mid; else return mid; } return -1; } int main() { int a[] = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }; for (int i = 0; i < sizeof(a)/sizeof(int); ++i) { printf("%d\n", BinarySearch(a, 10, i)); } return 0; }
#include <stdio.h> #include <assert.h> int BinarySearch(int* a, int n, int x) { assert(a); int begin = 0; int end = n; while (begin < end) { int mid = begin + ((end - begin) >> 1); if (a[mid] < x) begin = mid+1; else if (a[mid] > x) end = mid-1; else return mid; } return -1; } int main() { int a[] = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 }; for (int i = 0; i < sizeof(a)/sizeof(int); ++i) { printf("%d\n", BinarySearch(a, 10, i)); } return 0; }2.折半查找两种理解角度：
折纸法：
单边法：
复杂度对比：
3.常见空间复杂度的计算
空间复杂度是对一个算法在运行过程中
临时占用存储空间大小的量度
。空间复杂度不是程序占用
了多少
bytes
的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计
算规则基本跟实践复杂度类似，也使用
大
O
渐进表示法。
实例
1
：
// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i - 1] > a[i])
{
Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}实例2：
// 计算Fibonacci的空间复杂度？
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if (n == 0)
return NULL;
long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
}
return fibArray;
}
实例3
：
后记：
// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
return N < 2 ? N : Factorial(N - 1) * N;
}
实例答案及分析：
1. 实例 1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)
2. 实例 2 动态开辟了 N 个空间，空间复杂度为 O(N)3. 实例 3 递归调用了 N 次，开辟了 N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)
3.1有复杂度要求的算法题练习
3.1.1消失的数字
3.1.2 轮转数组
