L1正则化产生稀疏模型，L2正则防止过拟合

转自https://blog.csdn.net/jinping_shi/article/details/52433975

L1正则产生稀疏模型的理解：

$$J=J_0+alpha \sum_{w}|w| \tag{1}$$
其中 $J_0$ 是原始的损失函数，后半部分为 $L_1$ 正则化项，为绝对值之和， $J$ 带有绝对值符号的函数，因此 $J$ 是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数 $J_0$ 后添加L1正则化项时，相当于对 $J_0$做了一个约束。令 $L=α\sum_{w}|w|$，则 $J=J_0+L$，此时我们的 任务变成在$L$约束下求出$J_0$取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值 $w_1$和 $w_2$，此时 $L=|w_1|+|w_2|$对于梯度下降法，求解 $J_0$的过程可以画出等值线，同时 $L_1$正则化的函数 $L$也可以在 $w_1w_2$的二维平面上画出来。如下图：

图中等值线是$J_0$的等值线，黑色方形是$L$函数的图形。在图中，当$J_0$等值线与$L$图形首次相交的地方就是最优解。上图中$J_0$与$L$在$L$的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是$(w_1,w_2)=(0,w)$。可以直观想象，因为$L$函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），$J_0$与这些角接触的机率会远大于与$L$其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么$L_1$正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。
而正则化前面的系数$α$，可以控制$L$图形的大小。$α$越小，$L$的图形越大（上图中的黑色方框）；$α$越大，$L$的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这时最优点的值$(w_1,w_2)=(0,w)$中的$w$可以取到很小的值。
稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：

$$J=J_0+α\sum_{w}w^2\tag{2}$$

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

二维平面下$L_2$正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此$J_0$与$L$相交时使得$w_1$或$w_2$等于零的机率小了许多，这就是为什么$L_2$正则化不具有稀疏性的原因。

L2正则化和过拟合

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

注：$L1$ 正则化的计算公式不可导，$L2$可导