数据结构和算法数论完全数

1、什么是完全数

完全数（Perfect number）是一些特殊的自然整数。完全数等于其所有因子的和。这里所谓的因子是指所有可以整除这个数的数，而不包括该数本身。

完全数的基本规则和性质，以及判断完全数的算法。

其实谈到完全数，与之相关的两个概念便是亏数和盈数。

一般来说，通过其所有真因子的和来判断一个自然数是亏数、盈数及完全数。

・当一个自然数的所有真因子的和小于该自然数，那么该自然数便是亏数；

・当一个自然数的所有真因子的和大于该自然数，那么该自然数便是盈数；

・当一个自然数的所有真因子的和等于该自然数，那么该自然数便是完全数。

例如，4的所有真因子包括1和2，而4>1+2，所以4是一个亏数；6的所有真因子包括1、2、3，而6=1+2+3，因此6是一个完全数；12的所有真因子包括1、2、3、4、6，而12<1+2+3+4+6，所以12是一个盈数。

下面举几个典型的完全数的例子：

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

2、完全数的性质

对于完全数的研究，可以追溯到公元前6世纪。当时，毕达哥拉斯已经发现6和28是完全数。到目前为止，总共找到47个完全数。而寻找完全数是比较困难的，完全数的值越来越大，有时候需要借助高速的计算机来寻找。在所有的自然数中总共有多少个完全数，至今仍然是个谜，许多数学家在为之奋斗。另外，奇特的是，目前所有发现的完全数都是偶数，到底是否存在奇数的完全数也是一个谜。

1）每一个完全数都可以表示成连续自然数的和

每一个完全数都可以表示成连续自然数的和，这些自然数并不一定是完全数的因数。

例如：6=1+2+3

28=1+2+3+4+5+6+7

496=1+2+3+4+…+29+30+31

2）每一个完全数都是调和数

如果一个正整数的所有因子的调和平均是整数，那么这个正整数便是调和数。而每一个完全数都是调和数，例如：

对于完全数6来说，1/1+1/2+1/3+1/6=2

对于完全数28来说，1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2

3）每一个完全数都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和

每一个完全数都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，例如：

6=2^1+2^2

28=2^2+2^3+2^4

8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12

4）已知的完全数都是以6或者8结尾

已知的完全数都是以6或者8结尾，例如，6、28、496、8128、33550336等。从这里也可以看出，已知的每一个完全数都是偶数，但还没有严格证明没有奇数的完全数。

5）除6之外的完全数都可以表示成连续奇立方之和

除6之外的完全数都可以表示成连续奇立方之和，例如：

28=1^3+3^3

496=1^3+3^3+5^3+7^3

8128=1^3+3^3+5^3+…+15^3

3、计算完全数算法

一个简单的解决方案是遍历从1到n-1的每个数字，并检查它是否是除数。保持所有除数之和。如果 sum 等于 n，则返回 true，否则返回 false。

一个有效的解决方案是遍历数字直到n的平方根。如果一个数字“i”除以n，则将“i”和 n/i 加起来。

（1）c++

// C++ program to check if a given number is perfect
// or not
#include<iostream>
using namespace std;

// Returns true if n is perfect
bool isPerfect(long long int n)
{
	// To store sum of divisors
	long long int sum = 1;

	// Find all divisors and add them
	for (long long int i=2; i*i<=n; i++)
	{
		if (n%i==0)
		{
			if(i*i!=n)
				sum = sum + i + n/i;
			else
				sum=sum+i;
		}
	}
	// If sum of divisors is equal to
	// n, then n is a perfect number
	if (sum == n && n != 1)
		return true;

	return false;
}

// Driver program
int main()
{
	cout << "Below are all perfect numbers till 10000\n";
	for (int n =2; n<10000; n++)
		if (isPerfect(n))
			cout << n << " is a perfect number\n";

	return 0;
}

（2）Java

//检查给定数字是否完美的Java程序
class WQS
{
	
// Returns true if n is perfect
static boolean isPerfect(int n)
{
	// To store sum of divisors
	int sum = 1;

	// Find all divisors and add them
	for (int i = 2; i * i <= n; i++)
	{
		if (n % i==0)
		{
			if(i * i != n)
				sum = sum + i + n / i;
			else
				sum = sum + i;
		}
	}
	// If sum of divisors is equal to
	// n, then n is a perfect number
	if (sum == n && n != 1)
		return true;

	return false;
}

// Driver program
public static void main (String[] args)
{
	System.out.println("Below are all perfect" +
								"numbers till 10000");
	for (int n = 2; n < 10000; n++)
		if (isPerfect(n))
			System.out.println( n +
					" is a perfect number");
}
}

（3）C#

class WQS
{

static bool isPerfect(int n)
{
	// To store sum of divisors
	int sum = 1;

	// Find all divisors and add them
	for (int i = 2; i * i <= n; i++)
	{
		if (n % i==0)
		{
			if(i * i != n)
				sum = sum + i + n / i;
			else
				sum = sum + i;
		}
	}
	// If sum of divisors is equal to
	// n, then n is a perfect number
	if (sum == n && n != 1)
		return true;

	return false;
}

// Driver program
static void Main()
{
	System.Console.WriteLine("Below are all perfect" +
								"numbers till 10000");
	for (int n = 2; n < 10000; n++)
		if (isPerfect(n))
			System.Console.WriteLine( n +
					" is a perfect number");
}
}

（4）Python

# Returns true if n is perfect
def isPerfect( n ):
	
	# To store sum of divisors
	sum = 1
	
	# Find all divisors and add them
	i = 2
	while i * i <= n:
		if n % i == 0:
			sum = sum + i + n/i
		i += 1
	
	# If sum of divisors is equal to
	# n, then n is a perfect number
	
	return (True if sum == n and n!=1 else False)

# Driver program
print("Below are all perfect numbers till 10000")
n = 2
for n in range (10000):
	if isPerfect (n):
		print(n , " is a perfect number")

（5）PHP

<?php
function isPerfect($n)
{
	// 存储除数之和
	$sum = 1;

	// 找到所有除数并添加它们
	for ($i = 2; $i * $i <= $n; $i++)
	{
		if ($n % $i == 0)
		{
			if($i * $i != $n)
				$sum = $sum + $i + (int)($n / $i);
			else
				$sum = $sum + $i;
		}
	}
	// 如果除数之和等于n，则n是完美数
	if ($sum == $n && $n != 1)
		return true;

	return false;
}


echo "Below are all perfect numbers till 10000\n";
for ($n = 2; $n < 10000; $n++)
	if (isPerfect($n))
		echo "$n is a perfect number\n";

?>

（6）Javascript

<script>
    function isPerfect(n)
    {
	    // 存储除数之和
	    sum = 1;

	    // 找到所有除数并求和
	    for (let i=2; i*i<=n; i++)
	    {
		    if (n%i==0)
		    {
			    if(i*i!=n)
				    sum = sum + i + n/i;
			    else
				    sum=sum+i;
		    }
	    }
	    // 如果除数之和等于n，则n是完美数
	    if (sum == n && n != 1)
		    return true;

	    return false;
    }


    document.write("Below are all perfect numbers till 10000" + "<br>");
    for (let n =2; n<10000; n++)
        if (isPerfect(n))
            document.write(n + " is a perfect number" + "<br>");
</script>