【面试高频题】可拓展变形的「区间求和」经典题

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题目描述

这是 LeetCode 上的 1893. 检查是否区域内所有整数都被覆盖 ，难度为简单。

Tag : 「模拟」、「树状数组」、「线段树」

给你一个二维整数数组 ranges 和两个整数 left 和 right。每个 $ranges[i] = [start_i, end_i]$ 表示一个从 $start_i$ 到 $end_i$ 的闭区间。

如果闭区间 $[left, right]$ 内每个整数都被 ranges 中至少一个区间覆盖，那么请你返回 true，否则返回 false。

已知区间 $ranges[i] = [start_i, end_i]$ ，如果整数 x 满足 $start_i <= x <= end_i$ ，那么我们称整数 x 被覆盖了。

示例 1：

输入：ranges = [[1,2],[3,4],[5,6]], left = 2, right = 5

输出：true

解释：2 到 5 的每个整数都被覆盖了：
- 2 被第一个区间覆盖。
- 3 和 4 被第二个区间覆盖。
- 5 被第三个区间覆盖。
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示例 2：

输入：ranges = [[1,10],[10,20]], left = 21, right = 21

输出：false

解释：21 没有被任何一个区间覆盖。
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提示：

$1 <= ranges.length <= 50$
$1 <= start_i <= end_i <= 50$
$1 <= left <= right <= 50$

模拟

一个简单的想法是根据题意进行模拟，检查 $[left, right]$ 中的每个整数，如果检查过程中发现某个整数没被 $ranges$ 中的闭区间所覆盖，那么直接返回 False，所有数值通过检查则返回 True。

代码：

class Solution {
    public boolean isCovered(int[][] rs, int l, int r) {
        for (int i = l; i <= r; i++) {
            boolean ok = false;
            for (int[] cur : rs) {
                int a = cur[0], b = cur[1];
                if (a <= i && i <= b) {
                    ok = true;
                    break;
                }
            }
            if (!ok) return false;
        }
        return true;
    }
}
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时间复杂度：令 $[left, right]$ 之间整数数量为 $n$ ， $ranges$ 长度为 $m$ 。整体复杂度为 $O(n * m)$
空间复杂度： $O(1)$

树状数组

针对此题，可以有一个很有意思的拓展，将本题难度提升到【中等】甚至是【困难】。

将查询 $[left, right]$ 修改为「四元查询数组」 $querys$ ，每个 $querys[i]$ 包含四个指标 $(a,b,l,r)$ ：代表询问 $[l, r]$ 中的每个数是否在 $range$ 中 $[a, b]$ 的闭区间所覆盖过。

如果进行这样的拓展的话，那么我们需要使用「持久化树状数组」或者「主席树」来配合「容斥原理」来做。

基本思想都是使用 $range[0,b]$ 的计数情况减去 $range[0, a-1]$ 的计数情况来得出 $[a, b]$ 的计数情况。

回到本题，由于数据范围很小，只有 $50$ ，我们可以使用「树状数组」进行求解：

void add(int x, int u)：对于数值 $x$ 出现次数进行 $+u$ 操作；
int query(int x)：查询某个满足 $<= x$ 的数值的个数。

那么显然，如果我们需要查询一个数值 $x$ 是否出现过，可以通过查询 $cnt = query(x) - query(x - 1)$ 来得知。

代码：

class Solution {
    int n = 55;
    int[] tr = new int[n];
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
    void add(int x, int u) {
        for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += u;
    }
    int query(int x) {
        int ans = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
        return ans;
    }
    public boolean isCovered(int[][] rs, int l, int r) {
        for (int[] cur : rs) {
            int a = cur[0], b = cur[1];
            for (int i = a; i <= b; i++) {
                add(i, 1);
            }
        }
        for (int i = l; i <= r; i++) {
            int cnt = query(i) - query(i - 1);
            if (cnt == 0) return false;
        }
        return true;
    }
}
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时间复杂度：令 $[left, right]$ 之间整数数量为 $n$ ， $\sum_{i = 0}^{range.legth - 1}ranges[i].length$ 为 $sum$ ，常数 $C$ 固定为 $55$ 。建树复杂度为 $O(sum\log C)$ ，查询查询复杂度为 $O(n\log{C})$ 。整体复杂度为 $O(sum\log{C} + n\log{C})$
空间复杂度： $O(C)$

树状数组（去重优化）

在朴素的「树状数组」解法中，我们无法直接查询 $[l, r]$ 区间中被覆盖过的个数的根本原因是「某个值可能会被重复添加到树状数组中」。

因此，一种更加优秀的做法：在往树状数组中添数的时候进行去重，然后通过 $cnt = query(r) - query(l - 1)$ 直接得出 $[l, r]$ 范围内有多少个数被添加过。

这样的 Set 去重操作可以使得我们查询的复杂度从 $O(n\log{C})$ 下降到 $O(\log{C})$ 。

由于数值范围很小，自然也能够使用数组来代替 Set 进行标记（见 P2）

代码：

class Solution {
    int n = 55;
    int[] tr = new int[n];
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
    void add(int x, int u) {
        for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += u;
    }
    int query(int x) {
        int ans = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
        return ans;
    }
    public boolean isCovered(int[][] rs, int l, int r) {
        Set<Integer> set = new HashSet<>();
        for (int[] cur : rs) {
            int a = cur[0], b = cur[1];
            for (int i = a; i <= b; i++) {
                if (!set.contains(i)) {
                    add(i, 1);
                    set.add(i);
                }
            }
        }
        int tot = r - l + 1, cnt = query(r) - query(l - 1);
        return tot == cnt;
    }
}
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class Solution {
    int n = 55;
    int[] tr = new int[n];
    boolean[] vis = new boolean[n];
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
    void add(int x, int u) {
        for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += u;
    }
    int query(int x) {
        int ans = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
        return ans;
    }
    public boolean isCovered(int[][] rs, int l, int r) {
        for (int[] cur : rs) {
            int a = cur[0], b = cur[1];
            for (int i = a; i <= b; i++) {
                if (!vis[i]) {
                    add(i, 1);
                    vis[i] = true;
                }
            }
        }
        int tot = r - l + 1, cnt = query(r) - query(l - 1);
        return tot == cnt;
    }
}
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时间复杂度：令 $[left, right]$ 之间整数数量为 $n$ ， $\sum_{i = 0}^{range.legth - 1}ranges[i].length$ 为 $sum$ ，常数 $C$ 固定为 $55$ 。建树复杂度为 $O(sum\log C)$ ，查询查询复杂度为 $O(\log{C})$ 。整体复杂度为 $O(sum\log{C} + \log{C})$
空间复杂度： $O(C + \sum_{i = 0}^{range.legth - 1}ranges[i].length)$

线段树（不含“懒标记”）

更加进阶的做法是使用「线段树」来做，与「树状数组（优化）」解法一样，线段树配合持久化也可以用于求解「在线」问题。

与主要解决「单点修改 & 区间查询」的树状数组不同，线段树能够解决绝大多数「区间修改（区间修改/单点修改）& 区间查询」问题。

对于本题，由于数据范围只有 $55$ ，因此我们可以使用与「树状数组（优化）」解法相同的思路，实现一个不包含“懒标记”的线段树来做（仅支持单点修改 & 区间查询）。

代码：

class Solution {
    // 代表 [l, r] 区间有 cnt 个数被覆盖
    class Node {
        int l, r, cnt;
        Node (int _l, int _r, int _cnt) {
            l = _l; r = _r; cnt = _cnt;
        }
    }
    int N = 55;
    Node[] tr = new Node[N * 4];
    void pushup(int u) {
        tr[u].cnt = tr[u << 1].cnt + tr[u << 1 | 1].cnt;
    }
    void build(int u, int l, int r) {
        if (l == r) {
            tr[u] = new Node(l, r, 0);
        } else {
            tr[u] = new Node(l, r, 0);
            int mid = l + r >> 1;
            build(u << 1, l, mid);
            build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
            pushup(u);
        }
    }
    // 从 tr 数组的下标 u 开始，在数值 x 的位置进行标记
    void update(int u, int x) {
        if (tr[u].l == x && tr[u].r == x) {
            tr[u].cnt = 1;
        } else {
            int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
            if (x <= mid) update(u << 1, x);
            else update(u << 1 | 1, x);
            pushup(u);
        }
    }
    // 从 tr 数组的下标 u 开始，查询 [l,r] 范围内有多少个数值被标记
    int query(int u, int l, int r) {
        if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) return tr[u].cnt;
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        int ans = 0;
        if (l <= mid) ans += query(u << 1, l, r);
        if (r > mid) ans += query(u << 1 | 1, l, r);
        return ans;
    }
    public boolean isCovered(int[][] rs, int l, int r) {
        build(1, 1, N);
        for (int[] cur : rs) {
            int a = cur[0], b = cur[1];
            for (int i = a; i <= b; i++) {
                update(1, i);
            }
        }
        int tot = r - l + 1 , cnt = query(1, l, r);
        return tot == cnt;
    }
}
复制代码

时间复杂度：令 $[left, right]$ 之间整数数量为 $n$ ， $\sum_{i = 0}^{range.legth - 1}ranges[i].length$ 为 $sum$ ，常数 $C$ 固定为 $55$ 。建树复杂度为 $O(sum\log C)$ ，查询查询复杂度为 $O(\log{C})$ 。整体复杂度为 $O(sum\log{C} + \log{C})$
空间复杂度： $O(C * 4)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1893 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。

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