P3674 小清新人渣的本愿 (莫队 + bitset)

题目链接: P3674 小清新人渣的本愿

大致题意

给定一个长度为$n$的序列, 有$m$次询问操作.

1 l r x 表示询问$[l,r]$是否存在$a-b=x$ ($a,b$可以是同一位置的数字)
2 l r x 表示询问$[l,r]$是否存在$a+b=x$ ($a,b$可以是同一位置的数字)
3 l r x 表示询问$[l,r]$是否存在$a\times b=x$ ($a,b$可以是同一位置的数字)

解题思路

思维

我们首先考虑如何在一个序列上求出是否存在两个数字$a,b$, 使得$a-b=x$. (多次询问)

比较理想的做法可能就是把序列排序后, 每次用双指针进行扫描了.
或者数据值域像本题一样不是很大, 我们可以直接开个桶去记录所有数值是否出现.

但无论哪种做法, 我们单次查询的复杂度都是$O(n)$的.

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考虑优化:

如果我们用01序列来表示每个数值是否出现过(下标从左向右依次递增, 当前位置若为$1$, 则表示该数值出现过).
变形等式: $a=b+x$. 则询问等价于: 对于序列中每一个出现过的数值而言, 往后数$x$个数, 问该位置的数值是否出现过.

我们发现这个问题可以转化为一个求交集的问题. 即: 设当前的$01$序列$A$, 把$A$中的所有数值向后移动$x$位得到序列$B$, 然后对于序列$A,B$, 我们把每个对应位置上的数值进行与运算得到序列$C$, 如果最终序列$C$中存在$1$, 则表明存在$a-b=x$.

我们发现可以通过bitset来进行优化, 优化后单次查询复杂度为$O(\frac{n}{w})$.

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莫队

由于本题是询问的区间上是否存在$a,b$, 因此我们不妨考虑通过莫队去维护. 每次在bitset中翻转某一位的复杂度也是$O(1)$的, 因此我们可以保证$O(\sqrt{n})$的修改.

对于操作①: 由上文分析可得, 通过用bitset求交集的方式求解. 单次查询复杂度为$O(\frac{n}{w})$.

对于操作②: 我们移项可得$a=x-b$, 等价于$a=-b+x$. 由于我们在bitset中并不好维护负值, 因此考虑对于等式两边, 我们同时用值域上界$MAX$减去, 得到: $MAX-a=MAX+b-x$, 等价于: $MAX-a=b+(MAX-x)$.
若令$a^{\prime }=MAX-a,x^{\prime }=MAX-x$, 则有: $a^{\prime }=b+x^{\prime }$. 到此为止, 我们把操作②转化为了类似操作①的形式. 如果我们再用一个bitset去维护$MAX-val$是否出现, 我们即可解决操作②. 单次查询的复杂度同样为$O(\frac{n}{w})$.

对于操作③: 我们不妨直接枚举$x$的约数, 然后查询约数是否存在即可. 单次查询的复杂度为$O(\sqrt{x})$.

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我们发现复杂度的瓶颈是在操作①②上, 最坏复杂度为$O(\frac{nm}{w})$. 在$w=64$时, 大概是$1.5\times 10^8$.

评测姬那么厉害, $3s$当然可以跑完啦! (洛谷神机!!!)

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 1; i <= (n); ++i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1E5 + 10, B = 320, MAXN = N - 10;
int w[N];
struct mo {
    
    
	int tp, l, r, x, id;
	bool operator< (const mo& t) const {
    
    
		if (l / B != t.l / B) return l < t.l;
		return l / B & 1 ? r < t.r : r > t.r;
	}
}; vector<mo> area;


bool res[N];
bitset<N> vis1, vis2; int cou[N];
void add(int c) {
    
     if (++cou[c] == 1) vis1[c] = 1, vis2[MAXN - c] = 1; }
void sub(int c) {
    
     if (--cou[c] == 0) vis1[c] = 0, vis2[MAXN - c] = 0; }

bool ask1(int x) {
    
     return (vis1 & (vis1 >> x)).any(); }
bool ask2(int x) {
    
     return (vis1 & (vis2 >> x)).any(); }
bool ask3(int x) {
    
    
	for (int i = 1; i <= x / i; ++i) {
    
    
		if (x % i == 0 and vis1[i] and vis1[x / i]) return 1;
	}
	return 0;
}
int main()
{
    
    
	int n, m; cin >> n >> m;
	rep(i, n) scanf("%d", &w[i]);

	rep(i, m) {
    
    
		int tp, l, r, x; scanf("%d %d %d %d", &tp, &l, &r, &x);
		area.push_back({
    
     tp, l, r, x, i });
	}
	sort(area.begin(), area.end());

	int L = 1, R = 0;
	for (auto& [tp, l, r, x, id] : area) {
    
    
		while (l < L) add(w[--L]);
		while (r > R) add(w[++R]);
		while (L < l) sub(w[L++]);
		while (R > r) sub(w[R--]);

		if (tp == 1) res[id] = ask1(x);
		else if (tp == 2) res[id] = ask2(MAXN - x);
		else res[id] = ask3(x);
	}

	rep(i, m) puts(res[i] ? "hana" : "bi");

	return 0;
}

END