“剑气纵横三万里，一剑光寒十九洲”
目录
一、本章重点
- 介绍树的概念
- 介绍二叉树的概念
- 掌握递归核心要义
- 二叉树的oj题与详解
二、树
2.1树的概念
树是n个结点的有限集合T。当n=0时，称为空树；当n>0时，该集合满足如下条件：
①其中必有一个称为根（root）的结点，它没有直接前驱，但有0个或多个直接后继。
②其余n-1个结点可以划分成m（m>=0）互不相交的有限集T1，T2，T3，...Tm，其中Ti又是一棵树，称为根的子树。每棵子树的根节点有且仅有一个直接前驱，但有0个或多个直接后继。
（树是以递归的形式定义的）
下图为一棵树的逻辑结构图示，类似一棵倒长的树:
注：没有节点的树也是树，被称作空树，只有一个节点的树也是树。
测试一：
下列是树还是非树？
答：不是树，不满足这一条件：每棵子树的根节点有且仅有一个直接前驱，即不能成环。
比如G的直接前驱有两个分别是A和D，所以该结构不是树。
2.2关于树的基本知识
以该树为例
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为3.。
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：K、L、F、G、M、I、J.节点都是叶节点。
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点、C是G的父节点。孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点、G是C的孩子节点。
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点，E和G这种表兄弟不算兄弟节点。
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为3.
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4。
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先。
三、二叉树
3.1二叉树的概念
概念：一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
特点：
1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。
以下就是一个普通二叉树
3.2特殊的二叉树
3.2.1满二叉树
概念：满二叉树是一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉
树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。
3.2.2完全二叉树
3.3二叉树的性质
二叉树的性质
1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点。
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1。
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1。
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=Log2(N+1）。
3.4二叉树性质相关选择题练习
1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
解析：
1：选B.根据上述性质3，n0=n2+1=200.即叶子节点的个数为200（叶子节点是度为0的节点）
2：选A。二叉树只有0度、1度、2度节点，所以n2+n1+n0=2*n
又因为n0=n2+1，所以2*n0+n1-1=2*n
因为该树是完全二叉树，所以n1只能为0或者1.
当n1为0时，n0为小数，该情况省略、
所以n1等于1，因此n0等于n。
3.5二叉树链式结构的实现
3.5.1二叉树链式结构的遍历
所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访
问结点所做的操作依赖于具体的应用问 题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，是二叉树上进行
其它运算之基础。
遍历方式
1. NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
2. LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中间。
3. LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。4.层序遍历：层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
层序遍历图：
练习：请写出下面的前序/中序/后序/层序遍历
前序遍历：
A->B->D->NULL->NULL->E->H->NULL->NULL->I->NULL->NULL->C->F->NULL->NULL->G
->NULL->NULL
中序遍历：
NULL->D->NULL->B->NULL->H->NULL->E->NULL->I->NULL->A->NULL->F->NULL->C->NULL
->G->NULL
后续遍历:
NULL->NULL->D->NULL->NULL->H->NULL->NULL->I->E->B-NULL->NULL->F->NULL->NULL
->G->C->A
层序遍历：A->B->C->D->E->F->G->NULL->NULL->H->I->NULL->NULL->NULL->NULL
3.5.2选择题训练
1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为（
）
A ABDHECFG
B ABCDEFGH
C HDBEAFCG
D HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为
（）
A E
B F
C G
D H
3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为____。
A adbce
B decab
C debac
D abcde
1.A
解析：通过层序遍历可画出二叉树的结构，根据二叉树的结构可得到前序序列。
2.A
解析：根据先序遍历可得到E是根。
3.D
解析：根据后序遍历可得到二叉树的根是a，后续遍历得到b是左子树，dce是右子树。可画出二叉树的结构，然后得到先序遍历序列。
四、递归
4.1递归的概念
递归概念：递归，即函数在运行的过程中调用自己。
构成递归需具备的条件：
1. 子问题须与原始问题为同样的事，且更为简单；
2. 不能无限制地调用本身，须有个出口，化简为非递归状况处理。
4.2递归的核心要义
将一个问题分成若干个相同的子问题，将大问题交给子问题去做，子问题交给子子问题去做.......最后被安排完成任务的即为递归的出口。
以斐波那契数列为例：
我们要求斐波那契数列第n个数的值
化简为求n-1和n-2的值
再把求n-1和n-2的值化简为求n-2和n-3和n-3和n-4的值
..........
这就是将n化简为若干个相同的子问题，这个子问题就是：它们都需要求前两个数的值。
一直递归到n==1，此时返回1或者递归到n==0，返回1.这就是递归的出口，也是最后被安排完成任务的语句。
4.3如何写一个递归？
三步走：
- 将问题化简为若干个相同的子问题。
- 写出递归的出口
- 调用函数自己，
以下是实现斐波那契数列的递归写法
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
int fabonacci(int n)
{
if (n < 3)//递归出口
{
return 1;
}
return fabonacci(n - 1) + fabonacci(n - 2);//根据函数功能实现函数
}
int main()
{
//1 1 2 3 5 8 13
int n = 7;
printf("%d\n", fabonacci(n));
return 0;
}
五、二叉树常见OJ题练习
5.1二叉树的前序遍历（力扣）
给你二叉树的根节点
root，返回它节点值的 前序 遍历
输入：root = [1,null,2,3] 输出：[1,2,3]要实现的接口：
int* preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize) { }
思路：在堆区申请一块空间，用来存放节点值，再用递归思想，将节点1先放进堆区空间，再将它的左子树放入空间，再放入它的右子树。
递归写法：
先写递归出口：
if(root==NULL)
{
return;
}再放入根节点
ret[*returnSize]=root->val;
*returnSize=(*returnSize)+1;最后需要遍历剩下的左子树和右子树，这是我们需要一个函数解决剩下遍历问题，而解决这个问题的函数就是我们写的函数本身，即调用函数本身即可。
还有一个问题是我们在堆区该开辟多大的空间，这里我用递归求了该二叉树的节点个数
三步写递归
1.将问题化为若干个小问题，每个树都需满足：树的节点个数==1+左子树的节点个数+右子树的节点个数。
2.写递归出口：如果该树为空，返回0。
3.调用函数自己。
int size(struct TreeNode* root)
{
return root==NULL?0:1+size(root->left)+size(root->right);
} void traversal(struct TreeNode* root,int* returnSize,int* ret)
{
if(root==NULL)
{
return;
}
ret[*returnSize]=root->val;
*returnSize=(*returnSize)+1;
traversal(root->left,returnSize,ret);
traversal(root->right,returnSize,ret);
}
int size(struct TreeNode* root)
{
return root==NULL?0:1+size(root->left)+size(root->right);
}
int* preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize)
{
int s=size(root);
*returnSize=0;
int* ret=malloc(sizeof(int)*s);
traversal(root,returnSize,ret);
return ret;
}5.2二叉树的最大深度（力扣）
给定一个二叉树，找出其最大深度。
二叉树的深度为根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。
说明: 叶子节点是指没有子节点的节点。
示例：
给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]，3 / \ 9 20 / \ 15 7 返回它的最大深度 3 。
思路：直接递归
三步走：
1.将问题化为若干个相同的小问题，每个树都需满足：最大深度==1+（左子树的高度>右子树的高度?左子树的高度：右子树的高度）。
2.递归出口，当节点的地址为空时，返回0。
3.调用函数自己。
int maxDepth(struct TreeNode* root)
{
if(root==NULL)
{
return 0;
}
return 1+fmax(maxDepth(root->left),maxDepth(root->right));
}5.3平衡二叉树(力扣）
给定一个二叉树，判断它是否是高度平衡的二叉树。
本题中，一棵高度平衡二叉树定义为：
一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1 。
输入：root = [3,9,20,null,null,15,7] 输出：true
思路：直接递归
三步走：
1.将问题化为若干个相同的小问题，每棵树都需满足：根节点满足平衡树的条件 && 左子树是棵平衡树 && 右子树是棵平衡树。
2.递归出口，当节点的地址为空时，返回true。
3.调用函数自己。
int height(struct TreeNode* root)
{
if(root==NULL)
{
return 0;
}
return 1+fmax(height(root->left),height(root->right));
}
bool isBalanced(struct TreeNode* root)
{
if(root==NULL)
{
return true;
}
return abs(height(root->left)-height(root->right))<=1 &&
isBalanced(root->left) &&
isBalanced(root->right);
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