172. 阶乘后的零 : 经典统计质因数运用题

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题目描述

这是 LeetCode 上的 172. 阶乘后的零 ，难度为中等。

Tag : 「数学」

给定一个整数 $n$ ，返回 $n!$ 结果中尾随零的数量。

提示 $n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1$

示例 1：

输入：n = 3

输出：0

解释：3! = 6 ，不含尾随 0
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示例 2：

输入：n = 5

输出：1

解释：5! = 120 ，有一个尾随 0
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示例 3：

输入：n = 0

输出：0
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提示：

$0 <= n <= 10^4$

进阶：你可以设计并实现对数时间复杂度的算法来解决此问题吗？

数学

对于任意一个 $n!$ 而言，其尾随零的个数取决于展开式中 $10$ 的个数，而 $10$ 可由质因数 $2 * 5$ 而来，因此 $n!$ 的尾随零个数为展开式中各项分解质因数后 $2$ 的数量和 $5$ 的数量中的较小值。

即问题转换为对 $[1, n]$ 中的各项进行分解质因数，能够分解出来的 $2$ 的个数和 $5$ 的个数分别为多少。

为了更具一般性，我们分析对 $[1, n]$ 中各数进行分解质因数，能够分解出质因数 $p$ 的个数为多少。根据每个数能够分解出 $p$ 的个数进行分情况讨论：

能够分解出至少一个 $p$ 的个数为 $p$ 的倍数，在 $[1, n]$ 范围内此类数的个数为 $c_1 = \left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor$
能够分解出至少两个 $p$ 的个数为 $p^2$ 的倍数，在 $[1, n]$ 范围内此类数的个数为 $c_2 = \left \lfloor \frac{n}{p^2} \right \rfloor$
...
能够分解出至少 $k$ 个 $p$ 的个数为 $p^k$ 的倍数，在 $[1, n]$ 范围内此类数的个数为 $c_k = \left \lfloor \frac{n}{p^k} \right \rfloor$

我们定义一个合法的 $k$ 需要满足 $p^k \leqslant n$ ，上述的每一类数均是前一类数的「子集」（一个数如果是 $p^k$ 的倍数，必然是 $p^{k-1}$ 的倍数），因此如果一个数是 $p^k$ 的倍数，其出现在的集合数量为 $k$ ，与其最终贡献的 $p$ 的数量相等。

回到本题， $n!$ 中质因数 $2$ 的数量为 :

\sum_{i = 1}^{k_1}\left \lfloor \frac{n}{2^i} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{2^2} \right \rfloor + ... + \left \lfloor \frac{n}{2^{k_1}} \right \rfloor

$n!$ 中质因数 $5$ 的数量为 :

\sum_{i = 1}^{k_2}\left \lfloor \frac{n}{5^i} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{n}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{5^2} \right \rfloor + ... + \left \lfloor \frac{n}{5^{k_2}} \right \rfloor

由 $2 < 5$ ，可知 $k_2 \leqslant k_1$ ，同时 $i$ 相同的每一项满足 $\left \lfloor \frac{n}{5^i} \right \rfloor \leqslant \left \lfloor \frac{n}{2^i} \right \rfloor$ ，可知最终 $\sum_{i = 1}^{k_2}\left \lfloor \frac{n}{5^i} \right \rfloor \leqslant \sum_{i = 1}^{k_1}\left \lfloor \frac{n}{2^i} \right \rfloor$ ，即质因数 $5$ 的个数必然不会超过质因数 $2$ 的个数。我们只需要统计质因数 $5$ 的个数即可。

代码：

class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        return n == 0 ? 0 : n / 5 + trailingZeroes(n / 5);
    }
}
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class Solution:
    def trailingZeroes(self, n: int) -> int:
        return n // 5 + self.trailingZeroes(n // 5) if n else 0
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时间复杂度： $O(\log{n})$
空间复杂度：忽略递归带来的额外空间开销，复杂度为 $O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.172 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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172. 阶乘后的零 : 经典统计质因数运用题

题目描述

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