题目描述
- 给定一个二叉搜索树的根节点 root ，和一个整数 k
- 设计一个算法查找其中第 k 个最小元素（从 1 开始计数）。
example
input : root = [3,1,4,null,2], k = 1
output : 1
note : 3
/ \
1 4
\
2
input : root = [5,3,6,2,4,null,null,1], k = 3
output : 3
note : 5
/ \
3 6
/ \
2 4
/
1
解题思路
思路1 直接中序遍历全部节点
- 直接递归，中序遍历整个树
- 递归过程中把节点值依次存放到列表中
- 因为二叉搜索树的中序遍历结果是升序的，所以直接返回列表的第k个元素值即可
- 时间复杂度：O(H+k)，H 是树的高度。在开始遍历之前，需要 O(H)到达叶结点。当树是平衡树时，时间复杂度取得最小值 O(logN+k)；当树是线性树（树中每个结点都只有一个子结点或没有子结点）时，时间复杂度取得最大值 O(N+k)。
- 空间复杂度：O(H)，栈中最多需要存储 H 个元素。当树是平衡树时，空间复杂度取得最小值 O(logN)；当树是线性树时，空间复杂度取得最大值 O(N)。
思路2 栈模拟中序遍历前k个节点
- 为减少遍历次数，优化思路是不要遍历整个的树，利用二叉搜索树的性质，遍历到目标元素时就停止
- 用栈模拟递归过程，中序遍历前k个节点
- 每次（假设当前是第 i 次）栈顶节点出栈，说明栈顶节点是整个树中的第 i 个小的值（二叉搜索时的中序遍历性质决定）
- 直接跳出遍历，返回最后一次弹出栈的节点值即可
- 时间复杂度：O(H+k)，H 是树的高度。在开始遍历之前，需要 O(H)到达叶结点。当树是平衡树时，时间复杂度取得最小值 O(logN+k)；当树是线性树（树中每个结点都只有一个子结点或没有子结点）时，时间复杂度取得最大值 O(N+k)。
- 空间复杂度：O(H)，栈中最多需要存储 H 个元素。当树是平衡树时，空间复杂度取得最小值 O(logN)；当树是线性树时，空间复杂度取得最大值 O(N)。
思路3 记录子树的结点数
- 如果需要频繁地查找第 k 小的值，优化思路是记录下以每个结点为根结点的子树的结点数，在查找第 k 小的值时，不断缩小查找范围
- 令 node 等于根结点，开始搜索
- 记 node 的左子树的结点数为 left
- 若 left 小于 k-1，则第 k 小的元素一定在 node 的右子树中，令 node 等于其的右子结点，k 更新为 k−left−1，继续搜索；
- 若 left 等于 k-1，则第 k 小的元素即为 node ，结束搜索并返回 node 即可；
- 若 left 大于 k-1，则第 k 小的元素一定在 node 的左子树中，令 node 等于其左子结点，继续搜索。
- 时间复杂度：预处理的时间复杂度为 O(N)，其中 N 是树中结点的总数；需要遍历树中所有结点来统计以每个结点为根结点的子树的结点数。搜索的时间复杂度为 O(H)，其中 HH 是树的高度；当树是平衡树时，时间复杂度取得最小值 O(logN)；当树是线性树时，时间复杂度取得最大值 O(N)。
- 空间复杂度：O(N)，用于存储以每个结点为根结点的子树的结点数。
代码（Java）
思路1代码
public class Solution1 {
List<Integer> list = new ArrayList<>();
public int kthSmallest(TreeNode root, int k) {
// 中序遍历，DFS
DFS(root);
for (int i : list) {
System.out.print(i + " ");
}
return list.get(k - 1);
}
private void DFS(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
DFS(root.left);
list.add(root.val);
DFS(root.right);
}
}
思路2代码
public class Solution2 {
public int kthSmallest(TreeNode root, int k) {
// 用栈模拟实现中序遍历
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
// 需要保证从最小的元素作为第一个入栈元素，所以不能在循环外把根节点压入栈，故循环的边界条件添加了||root!=null条件
while (!stack.isEmpty() || root != null) {
while (root != null) {
stack.add(root);
root = root.left;
}
root = stack.pop();
System.out.print(root.val + " ");
k--;
// 第k个弹出栈的节点，其值一定为第k小的
if (k == 0) {
break;
}
root = root.right;
}
return root.val;
}
}
思路3代码
public class Solution3 {
public int kthSmallest(TreeNode root, int k) {
MyBst myBst = new MyBst(root);
return myBst.kthSmallest(k);
}
}
class MyBst {
TreeNode root;
Map<TreeNode, Integer> nodeNumber;
public MyBst(TreeNode root) {
this.root = root;
this.nodeNumber = new HashMap<TreeNode, Integer>();
countNumber(root);
}
// 统计以node为根结点的子树的结点数
private int countNumber(TreeNode node) {
if (node == null) {
return 0;
}
nodeNumber.put(node, countNumber(node.left) + countNumber(node.right) + 1);
return nodeNumber.get(node);
}
// 返回二叉搜索树中第k小的元素
public int kthSmallest(int k) {
TreeNode node = root;
while (node != null) {
int left = getNumber(node.left);
if (left == k - 1) {
break;
} else if (left > k - 1) {
node = node.left;
} else {
node = node.right;
k = k - left - 1;
}
}
return node.val;
}
private int getNumber(TreeNode node) {
return nodeNumber.getOrDefault(node, 0);
}
}