目录
2.1 扩频因子（SF: spreading factor）
2.2 码片率(chip rate)、符号率（symbol rate）和线性扫频斜率
1. Chirp调制及关键指标
LoRa物理层采用CSS调制（Chirp Spread Spectrum）[1]，实现公里级的无线信号传输距离，而CSS调制的核心是Chirp调制。
维基百科中的chirp定义[2]为：A chirp is a signal in which the frequency increases (up-chirp) or decreases (down-chirp) with time。因此，chirp本质上是一种在一定频率范围内扫频的信号。up-chirp指的是信号在频率定义的范围内不断增加，而down-chirp指的是信号在频率定义的范围内不断减小。
Chirp信号频率变化的方式来看，一般可以主要分为线性扫频（linear）、二阶扫频（quadratic）和指数扫频（logarithmic）三种。Matlab通过定义函数chirp产生不同扫描方式的扫频信号[3],其主要提供的扫描方式为：Linear，Quadratic，Logarithmic等。
Lora通信中，chirp调制采用的是线性扫频，或也称为线性调频（LFM：linear frequency modulation）。图 1给出了一个频率线性扫描的chirp信号频率变化示意，由该示意中可以得到线性扫频chirp的关键参数：扫频起始频率，扫频终止频率，扫频带宽和扫频时间，线性扫频斜率。结合图 1示例，可以得到：
- 扫频起始频率：
- 扫频终止频率：
- 扫频带宽：
- 扫频时间：
- 扫频斜率：
其中
为芯片收发的信道中心频率，例如433MHz等。
图 1给出的Chirp频率线性扫描是在射频信道中心频率表示的，但一般在基带处理时，不引入任何射频载波信号，此时Chirp信号在基带（信号中心频率为零）的频率线性扫描示意如图 2所示。如果在基带的Chirp用
表示，那么将该信号转换至中心频率为
的射频信号时，可以表示为：
实现频率变化的器件为射频发射机中的混频器和锁相环[4]，其中混频器主要实现上式中的类似信号相乘功能，而锁相环主要提供频谱搬移所需要的射频载波频率。为了方便，后续都在基带讨论的CSS调制，也就是
为0的情况。
图 1 中心频率在
的线性扫描Chirp信号频率随时间变化示意
图 2 基带中的线性扫描Chirp信号频率随时间变化示意
2. CSS调制及关键指标
上述chirp调制，不管是何种频率扫描方式，显然无法直接用来传递信息。因此LoRa采用了CSS技术，通过改变扫频的初始频率，来实现不同信息的传递。
图 3给出了在RF端观察到的LoRa CSS调制频率线性扫描示例。该示中给出了经过CSS调制后，传递三个符号（symbol）的频率线性扫描波形。由此可以看出LoRa的CSS调制，在每个符号传输时间TS内，调制信号的频率在整个带宽内实现了一次线性扫频变化。
由于改变扫描初始频率，因此在整个symbol传输时间内，频率线性递增会超过规定的扫描终止频率
。此时CSS调制规定，一旦频率超过扫描频率上限，那么直接将后续的扫描频率减去BW，如图 3中的S2和S3所示。
结合chirp调制时的参数，引入CSS调制后，额外定义了SF因子，码片率/符号率等参数。
图 3 RF端观察到的LoRa CSS调制频率线性扫描示意
2.1 扩频因子（SF: spreading factor）
为了明确无线传输中每个符号与传输bit数的关系，LoRa定义了扩频因子（SF: spreading factor），表示了每个符号中包含的信息比特数，也就是将每个符号扩频到
码片上进行传输，同时也将不同的符号映射到了不同的CSS调制初始频率。
例如当SF为2时，每个符号由2个比特原始数据进行编码，此时每个符号有
个码片。此时，如果在基带观察CSS调制，分别可以得到不同符号对应的初始频率，及频率线性递增后的调制波形，如图 4所示。由图 4可知，每个符号仍然在
时间内实现了整个带宽的频率线性扫描，但不同符号的扫描起始频率不同。对应上述例子，SF为2时，存在四种符号编码分别为00，01，10和11，对应CSS调制时的四种起始频率，分别为：
，
，
和
如果需要传递符号编码为01的信息时，CSS调制传输起始频率分别为：[
]的四个码片；而需要传递符号编码为10的信息时，CSS调制传输起始频率分别为[
] 的四个码片,并最终在规定时间内完成整个BW带宽内的频率线性扫描。
更一般情况下，根据信号传输带宽和扩频因子，可以得到不同符号编码值S对应的频率初始值为：
因此如果能够解调出该符号的起始频率
，再通过起始频率与符号的映射，就可以获得送入CSS调制器的无线传输比特数据。注意该比特数据与原始需要传输的信息之间还存在编解码的过程，因此通过解CSS调制获得的比特数据还不是原始需要传输的比特信息。
图 4 SF=2时四种编码对应的LFM调制基带频率波形
2.2 码片率(chip rate)、符号率（symbol rate）和线性扫频斜率
LoRa在芯片及应用说明[1]中，定义了码片率，即：“one chip is sent per second per Hz of bandwidth”，因此我们可以得到每个码片的传输速率，即码片率为：
其中，BW是CSS调制所使用的带宽。因此，我们可以得到每个码片的传输时间：
而定义扩频因子SF之后的每个CSS符号包含
个码片，因此符号的传输时间可以表示为：
同样，进一步可以得到CSS调制后的符号率为：
根据CSS调制指定的传输带宽和SF之后，进一步我们可以计算获得chirp调制是，频率线性增加的斜率为：
3. CSS调制线性扫频
如果已知频率初始值
及频率线性递增的斜率，那么我们可以得到线性频率递增的表达式为：
其中，
为CSS调制的初始扫描频率，
为CSS调制频率线性递增的斜率，
为每个符号的传输时间。
显然，上述描述当
不为0时，
完成整个调制时间0~
的扫频后，在有段时间范围内，
超过了BW，因此需要Mod处理，即：
上述CSS调制频率随时间的描述，是信号在0~BW范围内的表示形式，显然此时信号的中心频率在
。因此如果考虑基带时的波形频率描述方式，那么可以最终得到中心频率为0时候的CSS调制频率表达式：
下面三幅图分别展示了
, 
, 
（对应SF为6时的二进制数为：010100b）。根据上述定义，CSS信号频率初始值为：
每个符号所需要的时间为：
信号递增的斜率为：
如图 5所示，该信号如果以
作为起始频率开始以
线性递增，那么在0.088ms处频率将超过500kHz，因此，后续扫描频率将减去500kHz后，继续开始扫描，如图 6所示。最终将整体扫频信号扣除250kHz后，得到最终的基带信号，如图 7所示。
图 5 初始频率开始的频率线性扫描
图 6 扫描频率限制在0~BW带宽内
图 7 基带无载波情况下的扫描频率
4. CSS调制基带实现
得到带有符号的扫频信号
后，需要得到频率按照要求变换的正弦信号，由于相位和频率之间满足积分关系，因此
信号对应的相位值为：
其中
为相位的初始值（如果存在的话）。显然，存在：
那么最终得到调制后的信号为：
如果用IQ发射机进行上变频，那么基带IQ信号可以表示为：
最终，经过IQ发射机上变频至射频信道的最终信号为：
因此，重点需要得到不同符号S,带宽BW和SF对应下的
表达式。为了便于描述，我们首先在0~BW带宽上进行描述，如图 8。
图 8 LoRa CSS线性扫频分段描述
根据CSS调制定义，整个符号的传输时间划分了了
份，每份用来传输一个码片。如果将整个扫频过程中的频率是否超过BW，可以得到两段不连续的线性扫频频率。其中第一段波形频率由
开始扫描，并结束至BW，因此可以得到第一段的持续时间为：
也就是码片符号由S递增至
,共遍历了
个码片，而每个码片持续时间为
，因此
也可以写成：
对比发现，两者的最终表达形式是一致的。
而第二段频率是从0线性递增至
，也可以理解为码片符号由0递增至S-1所需要的时间，同样可以得到：
显然，我们可以得到：
因此，第一段频率线性扫描后得到的频率表达式为：
而第二段频率线性扫描后得到的频率表达式为：
综上，可以得到：
其中：
将上述扫频信号去除中心频率，得到基带扫频信号频率为：
由于相位是频率函数的积分，因此在第一段时间内的相位变化可以表示为：
其中，
是CSS调制的起始相位。基带发射情况下，可以令
。而第一段CSS调制结束时，即时间到达
时刻相位为：
而在第二段时间内的相位变化可以表示为：
其中，
。那么第二段时间CSS调制结束时，即时间到达
时刻相位为：
也就是第二段调制后的相位，从
又变化回了
。也就是说，Lora采用的CSS调制，在整个symbol符号内，属于连续相位调制。
5. CSS调制Matlab实现示例
根据上述分析，下面分别给出了两种实现LoRa CSS 单个符号调制的Matlab代码。其中第一种代码直接利用matlab提供的cumtrapz函数[5]实现频率点的积分（图 9中蓝色曲线），而第二种方法直接采用上述分段相位积分公式推导后采样得到（图 9中红色曲线）。通过对比，可以发现两者在到达频率最大值后存在不一致。同时通过窗口打印两种方法
点的相位，可以发现第一种方法存在误差。
进一步分析可以得到，该误差是Matlab函数cumtrapz算频率积分求相位产生的，具体此处不在展开。
图 9 两种方法产生的相位积分
图 10 由相位生成LoRa CSS IQ波形
6. 参考Matlab代码
close all; clear all; clc;
BW=500e3; %CSS调制带宽
SF=6; %CSS调制SF因子
samp_per_code=5; %CSS调制每个扩频code时间段内的采样点数
symbol_value=34; %当前待调试的符号值
N=2^SF; %code 总数
T_symbol=N/BW %symbol占用时间
SampleRate=samp_per_code*BW; %实际采样率
Npts=samp_per_code*N; %总采样点数
t=(0:Npts)/SampleRate; %CSS调制抽样时刻，需要的采样时刻序号应该为0：Npts-1，最后一个用于验证相位连续性
init_freq=symbol_value/N*BW; %初始频率
k=BW/T_symbol; %频率增加斜率
%%Lora CSS 调制方法1
freq1=init_freq+k*t; %根据初始频率生成线性扫频
freq2=mod(freq1,BW); %将freq1限制在0~BW带宽内
freq3=freq2-BW/2; %将freq2中心频率设置为0
tmp=cumtrapz(t,freq3); %使用累计梯形数值积分函数，进行相位积分
phase_final1=tmp(end) %最后一个点用于观察相位连续性
Theta_Method1=tmp(1:end-1); %删除最后一个点
%%Lora CSS 调制方法2
Npts1=samp_per_code*(N-symbol_value); %t1时间段对应总采样点数
t1=(0:Npts1)/SampleRate; %t1时间段实际相位采样时刻，需要的采样时刻序号应该为0：Npts1-1，最后一个点为第二段的起始相位
tmp=(init_freq-BW/2)*t1+1/2*k*t1.*t1; %根据第一段相位公式计算
Theta1=tmp(1:end-1); %第一段相位取值
Theta_init=tmp(end); %第一段相位在t1时刻的取值
t2=(Npts1:Npts)/SampleRate; %第二段相位采样时刻
t2=t2-t1(end);
tmp=1/2*k*t2.*t2-BW/2*t2+Theta_init; %根据第二段相位公式计算
phase_final2=tmp(end)
Theta_Method2=[Theta1 tmp(1:end-1)];
figure('Name', 'CSS Phase','NumberTitle', 'off');
plot(t(1:end-1),Theta_Method1)
hold on
plot(t(1:end-1),Theta_Method2)
hold off
s=exp(j*2*pi*Theta_Method2);
figure('Name', 'waveform','NumberTitle', 'off');
plot(real(s))
hold on
plot(imag(s))
hold off7. 参考文献
[1] Semtech Corporation, AN1200.22 LoRa Modulation Basics, 2015
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Chirp
[3] Swept-frequency cosine - MATLAB chirp- MathWorks 中国
[4] 东南大学，射频通信电路：射频收发机结构，第四讲 射频收发机结构 - 豆丁网
[5] Matlab, 累积梯形数值积分 - MATLAB cumtrapz- MathWorks 中国