计算机视觉系列教程11：透视空间与透视变换

教程说明

章号       内容
 0         色彩空间与数字成像(待定)
 1         计算机几何基础
 2         图像增强、滤波、金字塔
 3         图像特征提取
 4         图像特征描述
 5         图像特征匹配
 6         立体视觉

导论

图2.1.1所示是生活中常见的透视现象，其物理本质是“光的直线传播”。透视也可描述为“近大远小”，如图2.1.2(a)所示，其对应透视空间；若物体大小不随观察点的远近改变，如图2.1.2(b)所示，则其对应欧式空间。由于人眼与相机在捕获图像时均存在透视现象，因此计算机几何基于透视空间进行研究。

1 透视空间

为直观起见，先描述二维透视空间，其原理可直接推广至三维空间。如图2.2.1是一个二维欧式平面${\mathbb{R}}^2$ ，现在引入二维透视坐标${\mathbb{P}}^2$，透视坐标将欧式空间的维度扩展到三维，第三维度$\tilde{w}$表示物体与观察点的距离，约定以$w=1$为参考平面。

根据光沿直线传播的原理，从透视坐标系原点引出一条视线$\tilde{\mathbf{l}}$穿过欧式平面的点$A$。不妨上下平移欧式平面，调整点$A$与观察点的距离。欧式空间中的不同点$A$、$A^{\prime }$在透视空间中是相同的，因为$\tilde{\mathbf{l}}$是同一个点在不同观察距离下的表现集合，透视空间中用直线(视线)$\tilde{\mathbf{l}}$表示欧式空间的点。

现在保持欧式空间中的点相同，再次调整观察距离，如图2.2.2所示。观察距离越远视线越发散、信息越局部；观察距离越近视线越收敛，信息越全局——此现象可以用投影仪工作场景来说明。

定义透视空间的视线$$\tilde{\mathbf{l}}=\left(x,y,w\right)$$当$w\ne 0$时，$\tilde{\mathbf{l}}$对应欧式空间中的点$L\left(\frac{x}{w},\frac{y}{w}\right)$，$\tilde{\mathbf{l}}$也称为点$L$的齐次坐标(Homogeneous Coordinates)，当$w=0$时，$\tilde{\mathbf{l}}$对应欧式空间中的向量$\vec{L}=\left(x,y\right)$，$w=0$也体现了其在齐次变换中的平移不变性。

透视空间中点与向量的运算
$$\{\begin{array}{l}V\pm V=V\\ P\pm V=P\\ P-P=V\\ P+P=MidP\end{array}\left(P:PointV:VectorMid:\text{中点}\right)$$

齐次坐标具有如下性质：
(1) 同质性。齐次坐标的几何本质，透视空间中齐次坐标是同一点在不同观察距离下的表现形式；
(2) 线性。齐次坐标下，可将对应维度欧式空间的变换线性化。例如二维欧式平面中点的平移属于非线性变换，但二维透视空间中可通过线性旋转完成欧式空间中非线性的平移。

与用透视空间的直线表示欧式空间的点类似，透视空间中用视平面表示欧式空间的直线——由于法向量唯一确定平面，因此也用该平面的法向量$\tilde{\mathbf{l}}$表示欧式空间的直线。

由解析几何易得，透视空间中的直线和点满足下面关系：
$$\{\begin{array}{l}{\tilde{\mathbf{l}}}_1\times {\tilde{\mathbf{l}}}_2=\tilde{\mathbf{x}}\\ {\tilde{\mathbf{x}}}_1\times {\tilde{\mathbf{x}}}_2=\tilde{\mathbf{l}}\end{array}$$
若透视空间中的视线在视平面上(对应欧式空间中点在直线上)，则易知
$${\tilde{\mathbf{l}}}^T\tilde{\mathbf{x}}={\tilde{\mathbf{x}}}^T\tilde{\mathbf{l}}=0$$

2 透视变换

透视空间变换总体形式如图2.3.1所示，具体而言列于表2.3.1中。透视变换表征了平面间(平面上点)的映射关系。

可见透视空间所有变换都是投影变换的特例，因此研究投影变换具有重要意义，其广泛用于图像校正、视角变换、图像拼接、增强现实等方面，如图2.3.2所示。