acwing 1381 阶乘

acwing 1381 阶乘

题目描述

$N$ 的阶乘（记作 $N!$）是指从 $1$ 到 $N$（包括 $1$ 和 $N$）的所有整数的乘积。

阶乘运算的结果往往都非常的大。

现在，给定数字 NN，请你求出 N!N! 的最右边的非零数字是多少。

例如 $5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120$ $5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120$，所以 $5!$ 的最右边的非零数字是 2。

输入格式

共一行，包含一个整数 N。

输出格式

输出一个整数，表示 N!N! 的最右边的非零数字。

数据范围

$1\le N\le 10001\le N\le 1000$

输入样例：

7

输出样例：

4

考察点

step1：末尾为0的最终只能是由$2\ast 5=10$这种得来的，就算是$10$ $20$ 这种以0结尾的去乘以某个数得到的末尾是0的，仍然可以看作是由2和5的乘积演变而来的​。因此我们只需要把包含成对的2和5的去掉就可以了。

step2：由于在for循环里同步除以了2和5，但是实际上当$i$比较大的时候，包含2的个数要比5的多(这里证明暂无知，如果有知道的伙伴欢迎可以把链接留下来。)，所以最后要再乘上$d2-d5$个2

step3：最后输出c

推导：

设$n!$末尾有$k$个$0$，那么题目所求的就是$\left(\frac{n!}{10^k}mod10\right)$,而$10^k=2^k\cdot 5^k$，$n!=2^{\alpha }\cdot 5^{\beta }\cdot p_1^m\cdot p_2^n$ ，我们可以只看2和5的，其余项我们可以通过模10来处理。

import java.io.*;
public class Main {
    
    
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
    
    
        BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        BufferedWriter writer = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        
        int n = Integer.parseInt(reader.readLine());
        // d2统计包含数字i包含多少个2，d5统计包含多少个5
        int d2 = 0, d5 = 0, c = 1;
       // 循环结束后因为2和5都被除去了，所以个位肯定不是0
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
    
    
            int j  = i;
            // 由于一个数只要是10的倍数最后的数字一定是0，因此我们需要可以先除去为0的部分
            // 又因为10以内的数字中只有2*5=10，因此我们可以将除去它的因数就可以了
            while (j % 2 == 0) {
    
    
                j /= 2;
                d2++;
            }
            while (j % 5 == 0) {
    
    
                j /= 5;
                d5++;
            }
            // 得到所有不包含2和5的倍数的数的乘积的结果的个位数
            c = c*j % 10;
        }
        // 处理多出来2的倍数，因为一个数仅仅是2的倍数但并不是5的倍数是可以省略的
        for (int i = 0; i < d2- d5; i++) {
    
    
            c = c*2 % 10;
        }
        writer.write(c + "\n");
        writer.flush();
        writer.close();
        reader.close();
    }
    
}