机器人导论（第四版）学习笔记——第三章

3 操作臂运动学

3.1 引言

运动学只研究运动特性，不考虑施加的力。
操作臂运动学涉及所有与运动有关的几何参数和与时间有关的性质。
本章重点是把操作臂关节变量作为自变量，描述操作臂末端执行器与操作臂基座之间的函数关系。

3.2 连杆的描述

操作臂=以关节连成的运动链的刚体。这些刚体称为连杆。
刚体间的相对运动是两个平面之间的相对滑动时，称为低副。低副有6种，转动副，移动副，圆柱副，平面副，螺旋副和球面副。
设计机器人时，优先选择一个自由度的关节。（转动、移动关节）
基座定义为连杆0，第一个可动连杆定义为连杆1，以此类推，最后一个为连杆n。为实现任何位置和姿态，需要至少6个关节。
连杆i绕关节轴i相对于连杆i-1转动，轴i-1与轴i之间的距离$a_{i-1}$即为连杆i-1的长度，夹角为${\alpha }_{i-1}$。夹角按照右手定则，绕公垂线从i-1转向轴线i。

3.3 连杆连接的描述

处于运动链中间的连杆
相邻两个连杆之间有一个公共转轴，沿两个连杆公共轴线方向的距离可以用连杆偏距来描述。关节轴i上的偏距记为$d_i$；两相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角称为关节角，记为${\theta }_i$。

当关节i为移动关节时，$d_i$是一个变量；
当关节i为转动关节时，${\theta }_i$是一个变量。

运动链中首末端连杆
如果1为转动关节，${\theta }_1$的零位任取，$d_1$=0；
如果1为移动关节，$d_1$的零位任取，${\theta }_1$=0。

$a_0=a_n=0$，${\alpha }_0={\alpha }_n=0$

连杆参数
每个连杆用4个参数来表达，2个用来描述连杆本身，2个用来描述相互之间的连接关系。

转动关节：${\theta }_i$为关节变量，其他三个参数固定不变
移动关节：$d_i$为关节变量，其他三个参数固定不变

连杆参数描述机构运动关系的方法称为Denavit-Hartenber方法。一个6关节机器人，18个参数即可描述这些固定的运动参数，如果是6个转动关节，则18个参数可以分为6组，$(a_i,{\alpha }_i,d_i)$。

3.4 连杆坐标系的定义

为了描述每个连杆与相邻连杆之间的相对位置关系，在每个连杆上定义一个固连坐标系，连杆i对应坐标系{i}。
运动链中间位置连杆坐标系的定义
Z轴与关节轴重合，原点位于公垂线与关节轴交点处，X轴沿公垂线指向下一个关节轴，Y轴遵循右手定则。
运动链首末端连杆坐标系的定义
基座（连杆0）上的坐标系固定不动，一般作为参考坐标系。参考坐标系可任意设定，但通常设定${\hat{Z}}_0$轴沿关节轴1的方向，且当关节变量1为0时，坐标系{0}与坐标系{1}重合。因此总有$a_0=0,{\alpha }_0=0$。对转动关节而言，$d_1=0$，对移动关节而言，${\theta }_1=0$。

对于转动关节n，当${\theta }_n=0$时，${\hat{X}}_N$与${\hat{X}}_{N-1}$方向相同，选择{N}的原点，使之满足$d_n=0$。
对于移动关节n，设定${\hat{X}}_N$轴的方向使之满足${\theta }_N=0$，当$d_n=0$时选取坐标系{N}的原点位于${\hat{X}}_{N-1}$轴与关节轴n的交点。

连杆参数在坐标系中的表示方法
$a_i$：沿${\hat{X}}_i$轴，从${\hat{Z}}_i$移动到${\hat{Z}}_{i+1}$轴的距离
${\alpha }_i$：绕${\hat{X}}_i$轴，从${\hat{Z}}_i$旋转到${\hat{Z}}_{i+1}$轴的角度
$d_i$：沿${\hat{Z}}_i$轴，从${\hat{X}}_{i-1}$移动到${\hat{X}}_i$轴的距离
${\theta }_i$：沿${\hat{X}}_i$轴，从${\hat{X}}_{i-1}$旋转到${\hat{X}}_i$轴的角度

连杆坐标系的建立步骤

1. 找出各关节轴，并标出轴的延长线
2. 找出轴i与轴i+1之间的公垂线或两轴之间的交点，以此交点或公垂线与i轴交点为原点，确定坐标系{i}的原点
3. 规定${\hat{Z}}_i$轴的指向
4. 规定${\hat{X}}_i$轴沿着公垂线的指向，如为相交两周，则规定垂直两轴平面的指向
5. 按照右手定则确定${\hat{Y}}_i$轴的指向
6. 当第一个关节变量为0时，令坐标系{0}与坐标系{1}重合。对于坐标系{N}，其原点和${\hat{X}}_N$的方向可以任意选取，选取时尽量使两岸参数为0。

3.5 操作臂运动学

推导相邻连杆之间坐标变换的一般形式，然后将这些独立的变换联系起来求出连杆n对于连杆0的位置和姿态，是本节的核心。
连杆变换的推导
这里用到了科学方法论，将此问题分解成n个${}_i^{i-1}T$的求解，再将单个${}_i^{i-1}T$分解成4个独立变换，每个变换对应一个连杆参数
坐标系i对于坐标系i-1的推导，即${}_i^{i-1}T$

取三个中间坐标系，{P},{Q},{R}
由于旋转了${\alpha }_{i-1}$，{R}与{i-1}不同
由于平移了$a_{i-1}$，{Q}与{R}不同
由于旋转了${\theta }_i$，{P}与{Q}不同
由于平移了$d_i$，{i}与{P}不同

因此如果想把坐标系{i}中的矢量变换成{i-1}中的矢量，即可写成：
$${}^{i-1}P{=}_R^{i-1}{T}_P^Q{T}_i^P{T}^{i}P{=}_i^{i-1}TP$$
即：${}_i^{i-1}T{=}_R^{i-1}{T}_Q^R{T}_P^Q{T}_i^{P}T$
由上述变换，则可写成${}_i^{i-1}T=R_X({\alpha }_{i-1})D_X(a_{i-1})R_Z({\theta }_i)D_Z(d_i)$
还可写成${}_i^{i-1}T=Scre{w}_X(a_{i-1},{\alpha }_{i-1})Screw(d_i,{\theta }_i)$，Screw为算子，表示先平移再旋转
连乘即可得到结果：
$${}_i^{i-1}T=\left(\begin{array}{cccc}c{\theta }_i& -s{\theta }_i& 0& a_{i-1}\\ s{\theta }_{i}c{\alpha }_{i-1}& c{\theta }_{i}c{\alpha }_{i-1}& -s{\alpha }_{i-1}& -s\alpha i-1d_i\\ s{\theta }_{i}s{\alpha }_{i-a}& c{\theta }_{i}s{\alpha }_{i-1}& c{\alpha }_{i-1}& c{\alpha }_{i-1}{d}_i\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
连杆变换的连乘${}_N^{0}T{=}_1^0{T}_2^{1}T{\cdots }_N^{N-1}T$，是关于n个关节变量的函数，如果通过传感器测出每个关节变量，即可计算出末端位置和姿态。

3.6 驱动空间、关节空间和笛卡尔空间

n个关节变量组成一个nx1的关节向量，所有关节向量组成的空间被称作关节空间。相应的有驱动空间和笛卡尔空间。从驱动空间$\to$关节空间$\to$笛卡尔空间的计算被称为正运算，反之为逆运算。

3.7 实例：两种工业机器人的运动学问题

分别是Unimation公司的PUMA 560机器人和Yasukawa公司的Motoman L-3机器人。

3.8 坐标系的标准命名

基座标系{B}： 即基座上的坐标系{0}
固定坐标系{S}： 桌子角上的坐标系，也叫任务坐标系、世界坐标系或通用坐标系
腕部坐标系{W}： 操作臂末端连杆上的坐标系，也叫{N}，原点位于操作臂手腕上
工具坐标系{T}： 附于机器人所夹持工具的末端，没有工具时，原点位于机器人的指尖之间
目标坐标系{G}： 对机器人移动工具要达到的位置的描述，即运动结束时，工具坐标系需与目标坐标系重合

3.9 工具的位置

变换方程${}_T^{S}T{=}_S^B{T}^{-1}{{}_W^{B}T}_T^{W}T$一般被称为定位函数，用它可以计算手臂的位置。

3.10 计算问题

浮点数or定点数表示变量，由于变化范围较小，用定点数表示可以减少运算量。
做因式分解，以增加局部变量的代价减少乘法和加法次数。
正余弦采用查表法。
姿态求解时，先计算前两列，第三列是前两列做叉乘。