光(复振幅)在自由空间中传播的matlab仿真——傅里叶光学方法

光(复振幅)在自由空间中传播的matlab仿真

  光在空间中传播是一种很常见的现象，经过前人的努力，描述光的传播已经具有一套非常完整的理论，那便是傅里叶光学。借助傅里叶分析工具，可以很容易地分析光的传播规律。本文主要介绍如何利用matlab实现光在空间中的自由传播的仿真。即若已知一个物面分布，那么就可以计算出该物面的光传播到空间中任意位置的新强度；

参考资料：

• 秦克诚的 《傅里叶光学》 (第三版)，P40-44；
• Contemporary Optical Image Processing with MATLAB；
• 如果是光线旁轴追迹，可以参考《矩阵光学》。

一、问题描述

图1 物光传播到z面的示意图

  问题说明：如图1所示，已知在z=0的平面内光波(复振幅)分布为U(x,y; 0)，求解当光传播z距离之后的光波(复振幅)分布。
说明：光是一种电磁波，对光的描述可以用复振幅$U(x,y)=A(x,y)\cdot exp\left(j\cdot \phi (x,y)\right)$来表示，其中A(x,y)表示平面内的振幅分布，φ(x,y)表示平面内的相位分布。
  光在自由空间中传播这一基础知识点涉及到光学中的很多应用，比如光的衍射问题，生物显微成像(相位恢复)，研究成像系统问题等等。而且其理论知识也比较基础，很适合作为刚接触计算成像的同学的入手点。
  如图，设置物面的振幅是“相机人”，相位是“lena”，当光传播一段距离后，相位信息会表现在光强中。

二、光在空间中的传播模型

  在《傅里叶光学》中，它构建了一种角谱传播理论，即从一种频谱的角度来分析光的传播规律。由傅里叶变换关系可知
$$U(x,y;0)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\int A(f_X,f_Y;0)\exp [-j2\pi (f_{X}x+f_{Y}y)]d{f}_{X}d{f}_Y$$其中$A(f_X,f_Y;0)$表示在z=0平面上$U(x,y;0)$的频谱。

  因为光是一种电磁波，且在自由空间中传播是无源的，所以$U(x,y;0)$满足亥姆霍兹方程：
$${\nabla }^{2}U+k^{2}U=0$$将上一式代入此式可得：
$$\frac{d^2}{d{z}^2}A\left(f_X,f_Y;z\right)\text{ + 4}{\pi }^2\left[\frac{1}{{\lambda }^2}-f_X^2-f_Y^2\right]A\left(f_X,f_Y;z\right)=0$$这个二阶微分方程的一个基元解是
$$A\left(f_X,f_Y;z\right)\text{ = }A\left(f_X,f_Y;0\right)\exp \left(j2\pi z\sqrt{\frac{1}{{\lambda }^2}-f_X^2-f_Y^2}\right)$$这个解就是使用matlab做仿真的关键。它描述了在传播z距离后，传播面的频谱与初始频谱之间的关系，主要表现是在不同的频率分量上引入的相位偏移；

并且具有传播的限制条件：$f_X^2+f_Y^2<\frac{1}{{\lambda }^2}$，即光无法传播空间频率大于1/λ的频率。

  在获得了z距离下的频谱之后，由傅里叶变换关系可以求得传播z距离后的光波(复振幅)分布为：
$$U(x,y;z)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\int A(f_X,f_Y;0)\cdot \exp \left(j2\pi z\sqrt{\frac{1}{{\lambda }^2}-f_X^2-f_Y^2}\right)\cdot circ(\frac{\sqrt{f_X^2+f_Y^2}}{\lambda })\cdot \exp [-j2\pi (f_{X}x+f_{Y}y)]d{f}_{X}d{f}_Y$$

三、光传播的matlab仿真

  遵从第二节的模型，matlab仿真流程主要为：初始化参数 -> 对图像做FT -> 计算z距离下的频谱 -> 求解图像；
在仿真中，需要注意构建具有真实量纲的频率。

% 实现光在自由空间中传播的matlab仿真
% 流程：初始化参数 -> 对图像做FT -> 角谱传播，计算z距离下的频谱 -> 求解图像；

clc, clear
close all

% 初始化参数
z = 100;      % 传播距离（mm）
L = 50;       % 物面的长
W = 50;       % 物面的宽
lamda = 532e-6; % 光波长

% 振幅和相位
A = im2double(imread('./cameraman.tif'));   % 振幅和相位可以设置不同的值，
Phi = im2double(imread('./lena.tif'));      % 可以是纯相位或纯振幅物体；
U0 = A.*exp(1j*2*pi*Phi);

% 初始化频率
[r_dim, c_dim, ~] = size(U0);
fX = [0:fix(r_dim/2),ceil(r_dim/2)-1:-1:1]/L;
fY = [0:fix(c_dim/2),ceil(c_dim/2)-1:-1:1]/L;
[fy,fx] = meshgrid(fY,fX); 

% 对图像做傅里叶变换
U0_fft = fft2(U0);

% 角谱传播
f = sqrt(fx.^2+fy.^2);
circ_f = circ(f.*lamda);    % 高于1/λ的频率无法传播
Uz_fft = U0_fft.*exp(1j*2*pi*z.*sqrt(1./lamda.^2-f.^2)).*circ_f;

% 复原图像
Uz = ifft2(Uz_fft);

% 显示图像
imshow(abs([U0 Uz]),[]);
set(gcf, 'outerposition', get(0,'ScreenSize'));

① 对于纯相位物体：对于大部分生物细胞来说是透明的，所以主要特点表征在相位中，通过衍射传播的方式可以将相位反演出来。

② 对于纯振幅物体：随着传播距离增加，物光图像会越来越模糊。

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