数字信号处理 2.1 — 采样

一. 什么是采样

二. 采样的时域以及频域变化

1. 时域

一. 什么是采样

采样是对连续时间信号进行离散化和数字化的重要过程

一般采样过程如下图 1 所示：

图1. 一般采样过程

对于上图中的采样保持电路（S/H）和 ADC 模块我们可以抽象成一个确定采样时间间隔 Ts 的理想采样电路（将连续时间信号转化为数字信号），对于 DAC 模块和重构滤波器我们可以抽象成一个理想内插电路（将数字信号转化为连续时间信号）如下图 2 所示：

图2. 简化后的采样过程

二. 采样的时域以及频域变化

1. 时域

如下图 3 所示，采样在时域可以理解为将一个连续时间信号使用确定的时间间隔 Ts 转变为离散时间信号，离散时间信号的时间间隔为采样时间间隔 Ts：

图3. 采样的时域表示

对采样进行建模，可以使用如图所示的方法：一个连续时间的信号，乘上一个时间间隔为 Ts 的单位冲激串，得到的信号是一个时间间隔为 Ts 的冲激串

图4. 采样模型

采样的数学表达如下：

图5. 采样的数学表达

即采样后的信号在相同的时间间隔 Ts 之后展现的是原连续时间信号的特征

由此可见，经过采样，时域连续的信号转化为时域离散信号

不同的采样频率，能够反映出不同的连续时间信号的细节：

图6. 不同采样频率下的数字信号

2. 频域

经过采样，连续时间信号在频域处由非周期信号转变为周期信号

由于信号在时域的相乘在频域可以表示为相互做卷积，所以连续时间信号的采样可以表示为冲激串与原信号在频域做卷积

图7. 采样的频域表示

由上图 7 可知，原信号进行数字化后在频域发生周期搬移，并且系数也发生了变化

假设被采样信号在频域如下图中 $\small Xa(jw)$ 所示，那么经过采样之后的信号在频域如下方的 $\small Xd(jw)$ 所示，在不同的频率方面没有交叠部分，而这种不发生交叠的状态需要的条件是采样角频率不小于二倍的原信号最高频率，即： $\small \Omega s > 2\Omega h$ .

图8. 正确采样后的频域变化

3. 奈奎斯特采样定理

由上述正确采样可知，如果 $\small \Omega s > 2\Omega h$ ，即采样角频率不小于二倍的原信号最高频率，那么得出来的信号在频域是相互分离的，但如果 $\Omega s < \Omega h$ 会发生什么呢？结果如下图 9 所示：

图9. 采样角频率小于二倍的采样信号最高频率时的频域变化

从上图可以看出，如果采样角频率小于二倍的被采样信号最高频率，那么采样得到的信号在频域就会发生混叠现象

所以为了不发生混叠现象，就必须要求采样信号的采样频率大于二倍的被采样信号的最大频率，这就是奈奎斯特采样定理

4. 一些常用符号及单位

$\small f$ : 频率，单位为赫兹（Hz），即每秒经过多少个周期

$\small \Omega$ : 角频率，rad/s , 即每秒经过多少弧度

$\small Fs$ : 采样角频率，采样信号的角频率

$\small Ts$ : 采样周期，采样信号的周期

$\small w$ : 数字角频率，单位为 rad/sample，即每个采样点之间的弧度， $\bg_white \fn_phv \large \Omega * Ts$ (将角频率 $\Omega$ 看做速度，那么数字角频率 $w$ 就是路程)

5. 采样实例

对 $\small x(t) = cos(6\pi t)$ 进行采样，采样频率为 10 Hz，即采样周期 Ts = 0.1s

所以可以得到采样后的信号为 $\small x[n] = cos(0.6\pi n)$

由上图可以看出，采样后的信号在频域变得周期化，这也表明时间连续信号在频域是非周期的，时间离散信号在频域是周期的；可以看出上面的例子中频域内发生搬移的周期是 $\small 20\pi$ ,即采样信号频率为 $\small 10Hz$ ，那么其采样角频率为 $\small \Omega s = 2\pi f = 20\pi$ 。

参考资料

中国大学慕课网