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一. 内插
基于采样的信号满足奈奎斯特采样定理，即在频域内没有交叠的部分
图1. 采样以及重构的过程
上图中的 为原始信号，经过采样后得到离散时间信号
,该信号由原始信号采样获得，在时域离散化，在频域发生周期性搬移
由于内插重构的前提是采样满足奈奎斯特采样定理，即采样得到的信号在频域没有混叠现象，所以保留低频部分就能还原出原信号
为保留低频信号，我们让该离散时间信号通过一个理想低通滤波器，该滤波器的截止频率为采样频率的二分之一，经过滤波，保留了原始信号低频部分，滤除由于发生周期性搬移出现的其他高频部分，完成原始信号的重构
图2. 低通滤波器对连续时间信号的重构过程
由上图可以看出，原信号通过采样变为离散时间信号，离散时间信号再通过内插变回连续时间信号，在频域上内插则是经过低通滤波将原信号恢复出来
二. 内插的原理解释
那么为什么通过低通就能恢复原信号呢？
图3. 低通滤波器
从上图可以看出，低通滤波器在时域表现形式为一个 sinc 函数，当 t = 0 时得到 1，当 t = Ts 的整数倍时得到 0
内插则是采样信号与滤波器响应函数做卷积得到的结果：
图4. 内插的数学表达
由于采样信号是一个冲激串，所以它和滤波器响应函数做卷积得到的结果是滤波器响应冲激函数的加权求和，而权值则是原函数的样值。
图5. 内插的图像表达
从上面的几幅图中可以看出，使用低通滤波器可以刚好在每一个采样点处恢复出原信号的函数值，随着 sinc 函数的移动，原信号就可以通过叠加恢复得到了
三. 举例
对如下三个信号进行采样，采样频率为 10 Hz ：
经过采样可以得到采样信号为：
将得到的三个离散时间序列画在同一张时域图中可得：
可以看出经过 10 Hz采样信号的采样，得到的离散时间序列都是一样的
再将得到的三个序列画在频域图中：
可以看出都是以 20pi 为周期进行搬移，也就是说在频域它们也是一样的
那么为什么出现这种情况呢？
（1）对于第一个信号，采样满足奈奎斯特采样定理；采样得到的信号在频域不会出现混叠现象
（2）对于第二个信号，想要满足奈奎斯特采样定理；采样频率应该大于 28pi ,但是现在采样频率只有 20pi，所以发生了混叠现象，即 -14pi 处的冲激搬到 +6pi ，以此类推，得到的频谱和 6pi 一致
（3）对于第三个信号，也和第二个信号类似，也是由于发生了混叠现象
因此，对这些信号进行内插恢复，只能恢复出第一个信号，而其他的两个信号会发生失真
但是，使用带通滤波器也可以恢复出原来的信号
参考资料
数字信号处理——基于计算机的方法（第四版）【美】 Sanjit K.Mitra