谨防伟大的上帝给这个星球派来一位思想家。
爱默生
1 数目、记数与计算
\qquad 对事物计数的需要导致了数目概念的产生，几乎所有拥有文字的民族都发展了某些原始形式的记数方法，其中数目是用实物代表或符号记录的。原始人类从实践经验中，不但懂得了数量概念，而且获得了最初步的基数累积方法；在这种计算方法中，数目的加减无非是依靠清点，加入或移走一个实物。因此，数目概念、记数方法与计算行为是同时产生、共同发展的。[详细阅读]
2 算术与位值制
\qquad 当数学发展到一定水平，由于记录和计算较大数目的需要，早期实物记数和符号记数就会逐渐让位于较先进的方法。数概念的下一步发展是与过渡到按组计数的技术有关的，这个阶段出现了所谓结点数并形成了算术运算。我国古代很早就依靠机械方法，发明了采用十进位制的筹算系统；这套系统不仅运用方便，而且技术先进，在缔造我国古代算术辉煌的过程中发挥了重要作用。近代以来，数目记号和记数方法逐渐明确化和标准化，形成了国际上通用的现代十进制记数系统。[详细阅读]
3 位值制的信息学意义
\qquad 位值制系统极其简单，因而常常容易忽视其重要性。按照现代信息论观点，可以将原始人类最早使用的记数方法看成是一种一进制记数系统。一进制系统逻辑上很不完善，对于表示和计算大数的效率也极低，有实际意义的是那些基数大于1的记数系统，后者是人们经过长期实践总结形成的。基数不同的位值制系统，尽管理论上相互等价，但存储、表示和处理信息的实际难度差异很大。进一步，可以认为一台数字计算机本质上必须像点计实物那样离散地处理对象，是时钟把时间离散化了，由时钟脉冲触发而完成的一个基本逻辑判断和算术运算等价于一次信息决断。用图灵机作为计算模型，可以分析说明：位值制系统表示和处理信息效率的提高，部分靠的是对于客观信息确实度的降低。同时，可以合理地论证：对于通用数字计算机，无论就系统适用性、系统逻辑设计和系统整体分辨力，还是就元件制造、存储耗费以及算术运算和逻辑运算机械化而言，二进制表示和处理系统都应该是最佳的选择。[详细阅读]
4 自动机逻辑
\qquad 计算机器是从计数机械发展起来的。如果把它们都视为一些简单的离散自动机，那么自然就会认为它们之间不存在本质差别。然而，计算机器与早期计数机械确有不同，差异的核心是计算逻辑的机械化。进一步，通用计算机与早期计算机器则更有不同，前者具有通用和完备的计算能力和逻辑判断能力，普适图灵机即是其代表模型。[详细阅读]
5 算术与逻辑
\qquad 当人们将思维活动归结为形式推理，又将后者归结为一系列供机器执行的“条件命令”后，自然就会自问：具体化的图灵机是如何实现这种“判断力”的？对此，巴贝奇在170年前就给予了明确表述：机械方法本身已经提供了表达条件的手段；图灵在70年前则表达得更具体：“这类机器通过瞬时跳变或者通过棘爪，从一个完全确定的状态转移到另一个完全确定的状态。”因此，在离散自动机中，并不存在抽象意义的条件转移，而只有相继机械步骤之间的状态转移。然而，这又意味着什么呢？[详细阅读]
\qquad 至于算术运算及算术机械化，如果缺乏先进的记数系统，任何大的进步都是不可能的，后者甚至无法达到自动计数器的水平，因此位值制系统的重要性无论怎么估价都不过分。同时，我们需要清楚地看到：位值制系统之所以能够提高计算效率，关键在于它增加了计算过程的逻辑复杂度；这种形式化、刻板化、标准化的算术逻辑与同样形式化、刻板化、标准化的推理逻辑一道，将方法蕴含的力量内化在个人和机器的计算过程之中。正是在这个意义上，图灵告诉我们：计算机器具有智能。 [详细阅读]
6 进一步阅读
1 - 艾伦.图灵经典论文 : 计算机器与智能
2 - 机械思维站点文章 : 算术和逻辑机械化一般原理初探