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一.二叉搜索树概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
(1). 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
(2). 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
(3). 它的左右子树也分别为二叉搜索树
二叉搜索树之所以被称作搜索树是因为该结构适合用来查找，如在上图中我们想要查找10，根节点为11，所以我们直接去11的左半部分找，7 < 10，所以我们去7的右半部分找，9 < 10，所以我们去9的右半部分找，最终找到了10
注意查找的时间复杂度为O(N)，不是O(logN)，在如下这种极端情况下，时间复杂度为O(N)，只有当树的形状接近完全二叉树或满二叉树，才能达到O(logN)
二.二叉搜索树的模拟实现
二叉搜索树的接口总览
// 树的节点的结构体
template<class K>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode(const K& key)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_key(key)
{
}
BSTreeNode* _left;
BSTreeNode* _right;
K _key;
};
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
// 构造函数
BSTree();
// 析构函数
~BSTree();
// 拷贝构造
BSTree(const BSTree<T>& t);
// 赋值运算符重载
BSTree& operator=(BSTree<T> t);
// 插入节点
bool Insert(const K& val);
// 查找节点
Node* find(const K& val);
// 删除节点
bool Erase(const K& val);
// 中序遍历
void InOrder();
private:
//成员变量，树的根节点
Node* _root
}
(1). 构造函数
将树的 _root 初始化为空即可
BSTree()
:_root(nullptr)
{
}
(2). 拷贝构造
拷贝构造就需要考虑深拷贝的问题，步骤如下 :
(1). 构造出根节点
(2). 递归构造左子树
(3). 递归构造右子树
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
// 构造根节点
Node* copy = new Node(root->_val);
// 递归构造左子树
copy->_left = Copy(root->_left);
// 递归构造右子树
copy->_right = Copy(root->_right);
return copy;
}
BSTree(const BSTree<K>& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
(3). 赋值运算符重载
b1 = b2 相当于调用 b1.operator=(b2)，由于是传值所以会调用上面写的拷贝构造函数，而这正是我们想要的，因此我们只需要交换两者的 _root 即可
BSTree& operator=(BSTree<K> t)
{
swap(_root,t._root);
return *this;
}
(4). 插入操作
插入操作非递归写法 :
(1). 定义一个parent和cur指针，parent指向cur的父亲
(2). 当插入的值比cur->_val小时，说明应该插入到cur的左边，让 parent = cur，cur = cur->_left
(3). 当插入的值比cur->_val大时，说明应该插入到cur的右边，让 parent = cur，cur = cur->_right
(4). 当插入的值和cur->_val相等时，说明值已经存在，返回false
(4). 重复(2)(3)的过程，直到cur为空，比较插入的值和parent->_val的大小，以此来决定插入到 parent->_left还是插入到 parent->_right
bool Insert(const K& key)
{
Node* p = new Node(key);
// 第一次插入，直接让 _root = p 即可
if (_root == nullptr)
{
_root = p;
return true;
}
Node* parent = nullptr, * cur = _root;
while (cur)
{
// 插入的值比cur->_val小
if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
// 插入的值比cur->_val大
else if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
// 插入的值和cur->_val相等
else
{
return false;
}
}
// key 比 parent->_key 小，插入到parent的左边
if (key < parent->_key) parent->_left = p;
// key 比 parent->_key 大，插入到parent的右边
else parent->_right = p;
return true;
}
插入操作递归写法 :
参数使用 Node*& root，当 root 递归到空的时候，root 还是上一个节点的 _left 或 _right 的别名，让root = new Node(key)，相当于上一个节点的 _left 或 _right 连接了 new Node(key) 节点
bool _InsertR(Node*& root,const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
root = new Node(key);
return true;
}
// 去左边插入
if (key < root->_key) _InsertR(root->_left, key);
// 去右边插入
else if (key > root->_key) _InsertR(root->_right, key);
// 已经存在返回 false
else return false;
}
bool InsertR(const K& key)
{
return _InsertR(_root, key);
}
(5). 查找操作
查找操作非递归写法 :
(1). key 值比 cur->_val 小，去 cur 的左边去找
(2). key值比 cur->_val 大，去 cur 的右边去找
(3). 找到返回 cur，没找到返回 nullptr
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
// key 值比 cur->_val 小，去 cur 的左边去找
if (key < cur->_key) cur = cur->_left;
// key值比 cur->_val 大，去 cur 的右边去找
else if (key > cur->_key) cur = cur->_right;
// 找到返回 cur
else return cur;
}
// 没找到返回 nullptr
return nullptr;
}
查找操作递归写法 :
(1). root 为空时，说明没有找到，返回 nullptr 即可
(2). key 值比 cur->_key 小，递归去 root 的左边去找
(3). key 值比 cur->_key 大，递归去 root 的右边去找
(4). 找到了返回 root
Node* _FindR(Node* root, const K& key)
{
// 没找到
if (root == nullptr)
return nullptr;
// key 值比 cur->_key 小
if (key < root->_key) _FindR(root->_left, key);
// key 值比 cur->_key 大
else if (key > root->_key) _FindR(root->_right, key);
// 找到了
else return root;
}
Node* FindR(const K& key)
{
return _FindR(_root,key);
}
(6). 删除操作
删除操作非递归写法 :
(1). 删除的是叶子节点或只有一个孩子的父节点
根据删除节点和父节点的大小关系，让父节点的 _left 或 _right 指向删除节点的左右孩子中不为空的节点(叶子节点则指向空)，最后删除该节点
(2). 删除的是有两个孩子的父节点
先找到能够替代该节点值的节点值，可以为左子树的最右节点值，右子树的最左节点值，这样就可以把问题转换成(1)
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr, * cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
// 删除叶子节点和只有一个孩子的父节点
if (cur->_left == nullptr || cur->_right == nullptr)
{
if (cur->_key < parent->_key)
parent->_left = (cur->_left != nullptr) ? cur->_left : cur->_right;
else
parent->_right = (cur->_left != nullptr) ? cur->_left : cur->_right;
delete cur;
}
// 删除有两个孩子的父节点
else
{
Node* p = cur, * c = cur->_left;
// 找到左子树的最右节点
while (c->_right)
{
p = c;
c = c->_right;
}
// 转换成问题(1)
if (c->_val < p->_val)
p->_left = c->_left;
else
p->_right = c->_left;
// 将节点的值进行替换
cur->_val = c->_val;
// 删除节点，释放内存
delete c;
}
return true;
}
}
return false;
}
删除操作递归写法 :
bool _EraseR(Node*& root,const K& key)
{
if (root == nullptr)
return false;
if (key < root->_key) return _EraseR(root->_left, key);
else if (key > root->_key) return _EraseR(root->_right,key);
else
{
if (root->_left == nullptr || root->_right == nullptr)
{
Node* tmp = root;
root = (root->_left != nullptr) ? root->_left : root->_right;
delete tmp;
}
else
{
Node* cur = root->_left;
while (cur->_right) cur = cur->_right;
root->_val = cur->_val;
_EraseR(root->_left,cur->_val);
}
return true;
}
}
bool EraseR(const K& key)
{
return _EraseR(_root,key);
}
(6). 析构函数
void Destory()
{
_Destory(_root);
}
void _Destory(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_Destory(root->_left);
_Destory(root->_right);
delete root;
}
~BSTree()
{
Destory();
_root = nullptr;
}
三.二叉搜索树的应用
(1). K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。
比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
以单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
(2). KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对。
比如：实现一个简单的英汉词典dict，可以通过英文找到与其对应的中文，具体实现方式如下：
<单词，中文含义>为键值对构造二叉搜索树，注意：二叉搜索树需要比较，键值对比较时只比较
Key查询英文单词时，只需给出英文单词，就可快速找到与其对应的key