Link with Balls - hdu 7047 - 生成函数解法

题意

给出2n个箱子，可以从2x-1th箱子取kx个球，可以从2xth箱子取至多x个球，那么最终取m个球有几种方法。

思路

如果了解过生成函数相关知识的话，应该不难发现每个箱子都有各自的生成函数。
$$F(x)=1+x+x^2+....+x^n(then-th)$$
$$F(x)=\sum _{i>=0}{x}^{i\ast k}=\frac{1}{1-x^k}(thek-th)$$
对于所有箱子对$F(x)$求积
$$F(x)=\frac{{\prod }_{i=0}^n({\sum }_{j=0}^i{x}^j)}{{\prod }_{i=1}^n\frac{1}{1-x^i}}$$
展开这个函数，或者直接丢给队友解
得到
$$\sum _{i=0}^{\infty }{C}_{n+i}^i\ast x^i-\sum _{i=0}^i{C}_{n+i}^i\ast x^{n+i+1}$$
令指数为m，故可以分成两部分解得答案
$$C_{m+n}^n-C_{m-1}^n$$
说实话，如果会推式子化简展开，生成函数直接可以跳过思维，很方便

#include "bits/stdc++.h"
#define int long long
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 2e6;
const int MAXN = 2e6 + 10000;
int inv[MAXN];
int c[MAXN];
int qpow(int a, int b) {
    
    
    int ans = 1;
    while (b) {
    
    
        if (b & 1) ans = a * ans % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
void prework() {
    
    
    c[0] = 1;
    for (int i = 1; i < MAXN; i++) {
    
    
        c[i] = c[i - 1] * i % mod;
        inv[i] = qpow(c[i], mod - 2);
    }
}

inline void solve() {
    
    
    int T;cin >> T;
    while (T--)
    {
    
    
        int n,m;
        cin >> n >> m;
        int t;
        if (m-1 < n) t = 0;
        else t = c[m-1] * inv[m - n -1]%mod * inv[n]%mod;
        cout << (c[n+m] * inv[n] % mod*inv[m]%mod - t + mod) % mod << endl;
    }
}

signed main() {
    
    
    ios::sync_with_stdio(0);
//    freopen("input.txt","r",stdin);
    prework();
    solve();
}