数理逻辑学习笔记[6] #20211027

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一阶逻辑：模型论

闭式，有效

0. Q: 闭项和闭式有何联系？
   A: 闭项不含变元，闭式不含自由变元。闭项组成闭式，闭式不一定内部全为闭项（可能有约束变元）。
1. Q: 利用前一篇中公式的项替换的赋值中的类似技术，容易证明对于某公式$\mathcal{A}$，如果两个赋值对于（）的自由变元都相同，则（）。由此推出（）是二值的。
   A: 出现在$\mathcal{A}$中的所有，这两个对于$\mathcal{A}$的赋值同时满足或不满足，闭式
2. Q: 数学中通常只用闭式，那怎么处理一般公式？“对闭式，检测其真假值只需检查某个赋值”意味着可以通过举特例证明或证伪一切数学命题吗？
   A: 提示：增加全称量词，把自由变元变为约束变元。
   对闭式检查某个赋值是否满足时，根据全称量词相关定义，可能实际上需要检查无穷多个$i-$等值的赋值，也就是不能简单举特例。
3. Q: 重言式和有效是何关系？
   A: 有效是对任意解释为真，重言式一定有效。有效不一定是重言式，例如$\forall x_i\mathcal{A}\to \exists x_i\mathcal{A}$显然有效但不能由命题逻辑的重言式替换得到。
4. Q: $\mathcal{A}\models \mathcal{B}$是否表示满足$\mathcal{A}$的赋值都满足$\mathcal{B}$？
   A: 否。是“使$\mathcal{A}$真的解释也使$\mathcal{B}$真”。举例：$\mathcal{A}$为$A(a_1)\wedge B(a_1)\wedge C(x_1)$，$\mathcal{B}$为$A(a_1)$这样。
   注：$\mathcal{A}\models \mathcal{B}$也可说是“$\mathcal{A}$的模型都是$\mathcal{B}$的模型”，其中解释$I$是$\mathcal{A}$的模型即解释$I$对$\mathcal{A}$为真。
   注：回忆命题逻辑中$\models$的两种含义：“模型”或“蕴涵”。此处也是如此。如果$I\models \mathcal{A}$推出$I\models \mathcal{B}$，则$\mathcal{A}\models \mathcal{B}$.

斯科伦化

0. Q: 斯科伦函项和斯科伦常元有何区别和联系？
   A: 提示：斯科伦常元是0元斯科伦函项（不在任何全称量词辖域中，即0元）。
1. Q: 设存在$I\models \mathcal{A}$，则存在（）的解释$I^s$，使得$I^s\models {\mathcal{A}}^s$. 因此，（）为有效不一定说明（）有效，但（）矛盾一定说明（）矛盾。
   A: 包含$I$中已有的所有解释且额外再包含斯科伦函项的（指定的）解释，$\mathcal{A}$，${\mathcal{A}}^s$，$\mathcal{A}$，${\mathcal{A}}^s$