计算理论基础-2-上下文无关语言

学习资料：

https://blog.csdn.net/happyeveryday62/article/details/103845740

六、上下文无关语言

Conventions 约定规定

• 字符A，B，C，… : Grammar Variables 文法变量（大写）

• 字符a, b, c, … : Grammar Terminals 文法终结符 (小写)

  • 一些字符串也可以作为文法终结符，例如num, id等

• $\alpha ，\beta ，\gamma ，\delta \dots$ 表示一些符号标志字符串

  • $\epsilon$可以表示变量 和/或 终结符

特定的文法规定：

• 最左侧的为最高规则
• 可以简写规则。例如：$A\to a,A\to \beta ,A\to \gamma$ 可以总结为；$A\to \alpha |\beta |\gamma$
• 左侧规则（变量） => 右侧规则（变量/终结符）

CFG(Context-free Grammar)上下文无关文法

定义：

由文法生成的所有字符串的集合称为文法的语言

例子：

1. { a n b n ∣ n ≥ 0 } \{a^nb^n|n\ge0\} { anbn∣n≥0}

   使用CFG表示其规则为：$A\to aAb|\epsilon$

   解释： A可以递推为$aAb$可以为递归为空串$\epsilon$，当仅递归一次且为空串时，就表示n=1即ab，当递归多次时，例如n=2，对应的推导过程就是： $A \rightarrow aAb \rightarrow aaAbb \rightarrow aabb $

2. 

Grammar in Chomsky Normal Form 乔姆斯基范氏

定义：

首先必须是CFG，其次每个规则都满足如上范式那么就是乔姆斯基范式

乔姆斯基范式有两个特点：1. 一分为二 2.终级化.

Normalization of a CFG 标准化上下文无关文法

将任意一个上下文无关文法CFG转为乔姆斯基范式的步骤如下：

1. 引入新的起始变元

   例如：原来为$S\to a$，现在为$S_0\to S,S\to a$

2. 从下往上删除 $A\to \epsilon$规则

   例如： 将$B \rightarrow xAy $和$A \rightarrow \varepsilon$改为 $B\to xAy|xy$

3. 从上往下删除传递规则

   例如：将$A\to B$和$B\to xCy$改为$A\to xCy$和$B\to xCy$

4. 添加新变元，使得所有变量规则都是一分为二

   例如：将$A\to B_1{B}_2\dots B_k$ 改为$A\to B_1{A}_1,A_1\to B_2{A}_2,\dots ,A_{k-2}\to B_{k-1}{B}_k$

5. 添加终结符规则

   例如 : $a$改为$T_a\to a$

例子

1. 将$S\to aSb|\epsilon$标准化

   1. 第一步：引入新的起始变元

      $S_0\to S,S\to aSb|\epsilon$

   2. 第二步：删除$\epsilon$（从后往前）

      $S\to aSb|\epsilon$ 变为 $S\to aSb|ab$

      初始的不删除, 否则规则改变(没有$\epsilon$)，变为 ：$S_0\to S|\epsilon$

   3. 第三步：从上往下删除传递规则

      改变为：$S_0\to aSb|ab｜\epsilon ,S\to aSb|ab$

   4. 第四步：添加新变元，使得所有变量规则都是一分为二

      令$S_1=Sb$, 则变为$S_0\to a{S}_1|ab｜\epsilon ,S\to a{S}_1|ab,S_1\to Sb$

   5. 第五步：添加终结符规则

      令$T_a\to a,T_b\to b$, 则变为:$S_0\to T_a{S}_1|T_a{T}_b｜\epsilon ,S\to T_a{S}_1|T_a{T}_b,S_1\to S{T}_b,T_a\to a,T_b\to b$

   至此，$S_0、S、S_1$均符合$A\to BC$, 且B、C即$T_a、T_b、S_1$均不为初始变元; $T_a、T_b符合A\to a$

2. 

DFA转换为CFG

因为$RL\subseteq CFG$， 所以DFA都可以转换成为CFG

$DFA=(Q,\Sigma ,q_0,F,\delta )$, $CFG=(V,\Sigma ,R,S)$

方法：

1. $V=Q,S=q_0$

2. 求CFG的规则：

   根据转移函数的变换规则： $q_i\to x\delta (q_i,x)forall{q}_i\in Vandallx\in \Sigma$

   根据终态的变换规则: $q_i\to \epsilon forall{q}_{i}inF$

例子