1. 三相PWM整流器拓扑图
三相PWM整流器的拓扑图如下所示，注意网侧电流的参考方向，在这种参考方向下，电压表达式满足 e a b c = L d i a b c d t + R i a b c + u a b c e_{abc}=L\frac{d_{iabc}}{d_t}+Ri_{abc}+u_{abc} eabc=Ldtdiabc+Riabc+uabc。
2. wt=0与A轴重合
这种情况下，abc-dq变换矩阵如下图所示，
注意：这里的 θ \theta θ就是wt，下面我用wt进行分析。定义Tabc-dq为
T a b c − d q = 2 3 [ c o s w t c o s ( w t − 2 π 3 ) c o s ( w t + 2 π 3 ) − s i n w t − s i n ( w t − 2 π 3 ) − s i n ( w t + 2 π 3 ) ] T_{abc-dq}= \frac{2}{3} \begin{bmatrix} coswt & cos(wt-\frac{2\pi}{3}) & cos(wt+\frac{2\pi}{3})\\ -sinwt & -sin(wt-\frac{2\pi}{3}) & -sin(wt+\frac{2\pi}{3}) \end{bmatrix} Tabc−dq=32[coswt−sinwtcos(wt−32π)−sin(wt−32π)cos(wt+32π)−sin(wt+32π)]
将Tabc-dq关于t进行求导，如下：
d T a b c − d q d t = 2 3 w [ − s i n w t − s i n ( w t − 2 π 3 ) − s i n ( w t + 2 π 3 ) − c o s w t − c o s ( w t − 2 π 3 ) − c o s ( w t + 2 π 3 ) ] \frac{d_{T_{abc-dq}}}{d_t}= \frac{2}{3}w \begin{bmatrix} -sinwt & -sin(wt-\frac{2\pi}{3}) & -sin(wt+\frac{2\pi}{3})\\ -coswt & -cos(wt-\frac{2\pi}{3}) & -cos(wt+\frac{2\pi}{3}) \end{bmatrix} dtdTabc−dq=32w[−sinwt−coswt−sin(wt−32π)−cos(wt−32π)−sin(wt+32π)−cos(wt+32π)]
对iabc的dq分量进行求导，如下：
[ d i d d t d i q d t ] = d T a b c − d q i a b c d t = T a b c − d q d i a b c d t + i a b c d T a b c − d q d t \begin{bmatrix} \frac{d_{id}}{d_t}\\ \frac{d_{iq}}{d_t} \end{bmatrix} = \frac{d_{
{T_{abc-dq}}i_{abc}}}{d_t}= T_{abc-dq}\frac{d_{iabc}}{d_t}+i_{abc}\frac{d_{T_{abc-dq}}}{d_t} [dtdiddtdiq]=dtdTabc−dqiabc=Tabc−dqdtdiabc+iabcdtdTabc−dq
假定 i d q = T a b c − d q i a b c i_{dq}=T_{abc-dq}i_{abc} idq=Tabc−dqiabc根据Tabc-dq和Tabc-dq导数的矩阵形式，可以推出：
d T a b c − d q d t i a b c = w [ i q − i d ] \frac{d_{T_{abc-dq}}}{d_t}i_{abc}=w \begin{bmatrix} i_q\\ -i_d \end{bmatrix} dtdTabc−dqiabc=w[iq−id]
将这个表达式带入可得：
T a b c − d q d i a b c d t = [ d i d d t d i q d t ] − w [ i q − i d ] T_{abc-dq}\frac{d_{iabc}}{d_t}= \begin{bmatrix} \frac{d_{id}}{d_t}\\ \frac{d_{iq}}{d_t} \end{bmatrix} -w \begin{bmatrix} i_q\\ -i_d \end{bmatrix} Tabc−dqdtdiabc=[dtdiddtdiq]−w[iq−id]
将电源表达式进行dq变换（这个适合瞬时值对应的，注意正负）：
e d q = T a b c − d q e a b c = L T a b c − d q d i a b c d t + R T a b c − d q i a b c + T a b c − d q u a b c e_{dq}=T_{abc-dq}e_{abc}=LT_{abc-dq}\frac{d_{iabc}}{d_t}+RT_{abc-dq}i_{abc}+T_{abc-dq}u_{abc} edq=Tabc−dqeabc=LTabc−dqdtdiabc+RTabc−dqiabc+Tabc−dquabc
带入上式可得：
[ e d e q ] = [ L d i d d t L d i q d t ] − w [ i q − i d ] + [ R i d R i q ] + [ u d u q ] \begin{bmatrix} e_d\\e_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L\frac{d_{id}}{d_t}\\ L\frac{d_{iq}}{d_t} \end{bmatrix} -w \begin{bmatrix} i_q\\ -i_d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} Ri_d\\ Ri_q \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} u_d\\ u_q \end{bmatrix} [edeq]=[LdtdidLdtdiq]−w[iq−id]+[RidRiq]+[uduq]
3. wt=0滞后于A轴90度
这种状况下，abc-dq变换矩阵如下图所示，
注意：这里的 θ \theta θ就是wt，下面我用wt进行分析。定义Tabc-dq为
T a b c − d q = 2 3 [ s i n w t s i n ( w t − 2 π 3 ) s i n ( w t + 2 π 3 ) c o s w t c o s ( w t − 2 π 3 ) c o s ( w t + 2 π 3 ) ] T_{abc-dq}= \frac{2}{3} \begin{bmatrix} sinwt & sin(wt-\frac{2\pi}{3}) & sin(wt+\frac{2\pi}{3})\\ coswt & cos(wt-\frac{2\pi}{3}) & cos(wt+\frac{2\pi}{3}) \end{bmatrix} Tabc−dq=32[sinwtcoswtsin(wt−32π)cos(wt−32π)sin(wt+32π)cos(wt+32π)]
将Tabc-dq关于t进行求导，如下：
d T a b c − d q d t = 2 3 w [ c o s w t c o s ( w t − 2 π 3 ) c o s ( w t + 2 π 3 ) − s i n w t − s i n ( w t − 2 π 3 ) − s i n ( w t + 2 π 3 ) ] \frac{d_{T_{abc-dq}}}{d_t}= \frac{2}{3}w \begin{bmatrix} coswt & cos(wt-\frac{2\pi}{3}) & cos(wt+\frac{2\pi}{3})\\ -sinwt & -sin(wt-\frac{2\pi}{3}) & -sin(wt+\frac{2\pi}{3}) \end{bmatrix} dtdTabc−dq=32w[coswt−sinwtcos(wt−32π)−sin(wt−32π)cos(wt+32π)−sin(wt+32π)]
对iabc的dq分量进行求导，如下：
[ d i d d t d i q d t ] = d T a b c − d q i a b c d t = T a b c − d q d i a b c d t + i a b c d T a b c − d q d t \begin{bmatrix} \frac{d_{id}}{d_t}\\ \frac{d_{iq}}{d_t} \end{bmatrix} = \frac{d_{
{T_{abc-dq}}i_{abc}}}{d_t}= T_{abc-dq}\frac{d_{iabc}}{d_t}+i_{abc}\frac{d_{T_{abc-dq}}}{d_t} [dtdiddtdiq]=dtdTabc−dqiabc=Tabc−dqdtdiabc+iabcdtdTabc−dq
假定 i d q = T a b c − d q i a b c i_{dq}=T_{abc-dq}i_{abc} idq=Tabc−dqiabc根据Tabc-dq和Tabc-dq导数的矩阵形式，可以推出：
d T a b c − d q d t i a b c = w [ i q − i d ] \frac{d_{T_{abc-dq}}}{d_t}i_{abc}=w \begin{bmatrix} i_q\\ -i_d \end{bmatrix} dtdTabc−dqiabc=w[iq−id]
将这个表达式带入可得：
T a b c − d q d i a b c d t = [ d i d d t d i q d t ] − w [ i q − i d ] T_{abc-dq}\frac{d_{iabc}}{d_t}= \begin{bmatrix} \frac{d_{id}}{d_t}\\ \frac{d_{iq}}{d_t} \end{bmatrix} -w \begin{bmatrix} i_q\\ -i_d \end{bmatrix} Tabc−dqdtdiabc=[dtdiddtdiq]−w[iq−id]
将电源表达式进行dq变换（这个适合瞬时值对应的，注意正负）：
e d q = T a b c − d q e a b c = L T a b c − d q d i a b c d t + R T a b c − d q i a b c + T a b c − d q u a b c e_{dq}=T_{abc-dq}e_{abc}=LT_{abc-dq}\frac{d_{iabc}}{d_t}+RT_{abc-dq}i_{abc}+T_{abc-dq}u_{abc} edq=Tabc−dqeabc=LTabc−dqdtdiabc+RTabc−dqiabc+Tabc−dquabc
带入上式可得：
[ e d e q ] = [ L d i d d t L d i q d t ] − w [ i q − i d ] + [ R i d R i q ] + [ u d u q ] \begin{bmatrix} e_d\\e_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L\frac{d_{id}}{d_t}\\ L\frac{d_{iq}}{d_t} \end{bmatrix} -w \begin{bmatrix} i_q\\ -i_d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} Ri_d\\ Ri_q \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} u_d\\ u_q \end{bmatrix} [edeq]=[LdtdidLdtdiq]−w[iq−id]+[RidRiq]+[uduq]
4. 分析
上面两种dq变换是MATLAB中使用的两种情况，我们发现，尽管变换矩阵不同，但只要Tabc-dq和Tabc-dq导数的关系一致，最后表达式就是一样的。
参考资料
4种派克(Park)变换、克拉克（Clark）变换与基于dq轴解耦的双闭环控制之间的关系(一)