Halo2学习笔记——用户手册之Tips and tricks（1）

1. 引言

此文包含在写halo2 circuit时可能有用的各种想法和片段。

2. Small range constraints

R1CS circuit中，常用的constraint为boolean constraint：$b\ast (1-b)=0$，当且仅当$b=0$或$b=1$时，该constraint才satisfied。

类似地，在halo2 circuit中，也可constrain a cell to have one of a small set of values。如，constrain $a$ to the range $[0..5]$，则可构建如下形式的gate：
$a\cdot (1-a)\cdot (2-a)\cdot (3-a)\cdot (4-a)=0$
当constrain $c$为$7$或$13$时，可：
$(7-c)\cdot (13-c)=0$

底层核心思想为将set内的所有值作为constraint多项式的根。在R1CS circuit中，支持的最大polynomial degree 为$2$（因为所有constraints的形式均为$a\ast b=c$）。在halo2 circuit中，可使用任意degree的多项式——但是，degree越高，使用成本也越高。

注意，此处并不限制根必须是常量，如$(a-x)\cdot (a-y)\cdot (a-z)=0$，将constrain $a$ to be equal to one of { x , y , z } \{x,y,z\} { x,y,z}，而$x,y,z$可为任意多项式，只要整个表达式的degree不超过maximum degree bound。

3. Small set interpolation

可使用Lagrange interpolation来创建a polynomial constraint that maps $f(X)=Y$ for small sets of X ∈ { x i } , Y ∈ { y i } X\in\{x_i\}, Y\in\{y_i\} X∈{ xi​},Y∈{ yi​}。

如，将a 2-bit value map为 a “spread” version interleaved with zeros：

• 首先，precompute the evaluations at each point：
  $00\to 0000\Rightarrow 0\to 0$
  $01\to 0001\Rightarrow 1\to 1$
  $10\to 0100\Rightarrow 2\to 4$
  $11\to 0101\Rightarrow 3\to 5$

• 然后，构建the Lagrange basis polynomial for each point using the identity：
  $l_j(X)={\prod }_{i\le m<k,m\ne j}\frac{x-x_m}{x_j-x_m}$
  其中$k$为the number of data points。（本例中对应$k=4$。）
  注意，Lagrange basis polynomial $l_j(X)$ evaluates to $1$ at $x_j$ and $0$ at all other $x_i,j\ne i$。
  从而可获得相应4个Lagrange basis polynomials：
  $\begin{array}{ccc}{l}_0(X)& =& \frac{(X-3)(X-2)(X-1)}{(-3)(-2)(-1)}\\ l_1(X)& =& \frac{(X-3)(X-2)(X)}{(-2)(-1)(1)}\\ l_2(X)& =& \frac{(X-3)(X-1)(X)}{(-1)(1)(2)}\\ l_3(X)& =& \frac{(X-2)(X-1)(X)}{(1)(2)(3)}\end{array}$
  对应的polynomial constraint即为：
  $\begin{array}{cccccccccccl}& f(0)\cdot l_0(X)& +& f(1)\cdot l_1(X)& +& f(2)\cdot l_2(X)& +& f(3)\cdot l_3(X)& -& f(X)& =& 0\\ ⟹& 0\cdot l_0(X)& +& 1\cdot l_1(X)& +& 4\cdot l_2(X)& +& 5\cdot l_3(X)& -& f(X)& =& 0.\end{array}$

参考资料

[1] Halo2 book之Tips and tricks