D-Double Strings 2021牛客多校5

D-Double Strings

题意

给两个字符串 $A$ 和 $B$ $(1\le |A|,|B|\le 5000)$​ ， $a$ 是 $A$ 的子序列， $b$ 是 $B$ 的子序列，求有多少个子序列组合满足两个子序列的长度相同并且 ∃ i ∈ { 1 , 2 , … , ∣ a ∣ } , A a i < B b i , ∀ j ∈ { 1 , 2 , … , i − 1 } , A a j = B b j \exists i \in \{1, 2, \dots, |a|\},A_{ai} < B_{bi},\forall j \in \{1, 2, \dots, i - 1\},A_{aj}=B_{bj} ∃i∈{ 1,2,…,∣a∣},Aai​<Bbi​,∀j∈{ 1,2,…,i−1},Aaj​=Bbj​​ 。

题解

• 可以把子序列分成三段 ，第一段两个子序列完全相同，第二段长度为 $1$​ 满足 $A_i<B_i$​ ，第三段只需要长度相同即可。
• 二重循环遍历两个字符串，如果满足 $A_i<B_j$ ，那么 $i$ 把字符串 $A$​ 分成了前后两部分， $j$ 把字符串 $B$​ 分成了前后两部分，分别求出前面部分公共子序列的数量和后面部分相同的数量即可。
• 前面部分可以通过二维dp $O(1)$ 转移得到；
• 后面部分可以dp，$A$ 此时剩余长度为 $x$ ，$B$ 此时剩余长度为 $y$，不妨 $x\le y$ ， ${\sum }_{i=0}^x{C}_x^i\cdot C_y^i={\sum }_{i=0}^x{C}_x^{x-i}\cdot C_y^i=C_{x+y}^x$​ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, a, n) for (int i = a; i <= n; ++i)
#define per(i, a, n) for (int i = n; i >= a; --i)
#ifdef LOCAL
#include "Print.h"
#define de(...) W('[', #__VA_ARGS__,"] =", __VA_ARGS__)
#else
#define de(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 5e3 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
char s[maxn], t[maxn];
int n, m;
ll dp[maxn][maxn];
ll fac[maxn * 2], inv[maxn * 2];
void add(ll &x, ll y) {
    
     if ((x += y) >= mod) x -= mod; }
void sub(ll &x, ll y) {
    
     if ((x -= y) < 0) x += mod; }
ll powmod(ll a, ll b) {
    
    
    ll ans = 1;
    while (b) {
    
    
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
void init() {
    
    
    fac[1] = fac[0] = 1;
    for (int i = 2; i < maxn * 2; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    inv[maxn * 2 - 1] = powmod(fac[maxn * 2 - 1], mod - 2);
    for (int i = 2 * maxn - 2; i >= 0; --i) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}
inline ll cal(ll a, ll b) {
    
    
    return fac[a] * inv[b] % mod * inv[a - b] % mod;
}
void DP() {
    
    
    rep(i, 0, maxn - 1) dp[i][0] = dp[0][i] = 1;
    rep(i, 1, n) rep(j, 1, m) {
    
    
        add(dp[i][j], dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]);
        if (s[i] != t[j]) sub(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1]);
    }
}
int case_Test() {
    
    
    scanf("%s%s", s + 1, t + 1);
    n = strlen(s + 1), m = strlen(t + 1);
    init(), DP();
    ll ans = 0;
    rep(i, 1, n) rep(j, 1, m) if (s[i] < t[j])
        add(ans, dp[i - 1][j - 1] * cal(n + m - i - j, min(n - i, m - j)) % mod);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}
int main() {
    
    
#ifdef LOCAL
    freopen("in.in", "r", stdin);
    freopen("out.out", "w", stdout);
    clock_t start = clock();
#endif
    int _ = 1;
    // scanf("%d", &_);
    while (_--) case_Test();
#ifdef LOCAL
    printf("Time used: %.3lfs\n", (double)(clock() - start) / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
    return 0;
}