一、数据统计分析
1、 求最大元素与最小元素
(1) 当x为向量时
y = max(x)：求向量x的最大值
[y,k] = max(x)：求向量x的最大值及在向量中的位置k。
(2)当A为矩阵时
max(A)：返回一个行向量，该行向量由每列元素的最大值组成。
[Y,U] = max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大元素的行号。
max(A,[],dim)：dim取1或者2。dim取1时，该函数的功能和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值（该列元素由每行最大元素组成）。
%求最大值和最大值的位置 x = [-43,72,9,16,23,47]; y = max(x); y; [y,k] = max(x); y k %求矩阵的最大元素和最小元素 A = [13,-56,78;... 25,63,-235;... 78,25,563;... 1,0,-1]; x = max(A); %求每列元素最大值 x y = max(A); %求每行元素最大值 y z = max(max(A)); %求所有元素最大值 z %只调用一次max()函数 max(A(:)) %将A矩阵堆叠 B = A(:) %可以将A矩阵变成一个列向量 %min()用法与max()相同
2、求平均值与中值
平均值：指算数平均值，即每项数据之和除以项数
中值：指在数据序列中其值的大小恰好处在中间的元素。如果数据个数为奇数，则取值为大小位于中间的元素；如果数据个数为偶数，则取中间两个元素的平均值。
mean（）：求算数平均值
median（）：求中值
3、求和与求积
sum()：求和函数
prod()：求积函数
4、累加和与累乘积
cumsum()：累加和函数
cumprod()：累乘积函数
5、求标准差与相关系数
std(X)：计算向量X的标准差
std(A)：计算矩阵A的各列的标准差
std(A,flag,dim)：flag取0或1，当flag = 0时，按S1所列公式计算样本标准差；当flag=1时，按S2所列公式计算总体标准差。默认情况下，flag = 0，dim = 1。
%生成满足正态分布的50000×4随机矩阵，用不同的形式求各列之间的标准差 clear; clc; x = randn(50000,4); y1=std(x,0,1) %第二个参数flag取零表示按第一种方式计算样本标准差,dim取值为1，表示按列计算 y2 = std(x,1,1) %第二个参数flag取1表示按第二种方式计算总体标准差，dim取值为1，表示按列计算 disp(y1); disp(y2); x1 = x'; y3 = std(x1,0,2); %第一种方式，dim = 2，按行计算 y4 = std(x1,1,2); %第二种方式，dim = 2，按行计算 disp('y3'' = '); disp(y3'); disp('y4'' = '); disp(y4');相关系数，能够反映两组数据序列之间相互关系。
corrcoef()：相关系数函数。调用格式如下：
corrcoef(A)：返回由矩阵A所形成的一个相关系数矩阵，其中，第i行第j列的元素表示原矩阵A中第i列和第j列的相关系数。
corrcoef(X,Y)：在这里，X、Y时向量，它们与corrcoef([X,Y])的作用一样，用于求X、Y向量之间的相关系数。
6、排序
sort()：排序函数
sort(X)：对向量X按升序排列。
[Y,I] = sort(A,dim,mode)：
其中，dim指明对A的列还是行进行排序、mode指明按升序还是降序排序，若取“ascend”，则按升序；若取“descend”，则按降序，默认为升序。输出参数中，Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。
clear clc %对矩阵A进行各种排序 A = [1,-8,5;4,12,6;13,7,-13]; disp('原A = '); disp(A); % sort(A); % disp('A = '); disp(A); [X,I] = sort(A,2,'descend'); disp('X = '); disp(X); disp('I = '); disp(I);二、多项式计算
1、多项式的表示
在MATLAB中，n次多项式用一个长度为n+1的行向量来表示。
（1）多项式系数向量的顺序是从高到低的。
（2）多项式系数向量包含0次项系数，所以其长度为多项式最高次加1。
（3）如果有的项没有，系数向量相应位置应用0补足。
2、多项式的四则运算
（1）多项式的加减运算
多项式的加减运算非常简单，即相应向量相加减。
（2）多项式乘法
conv(P1,P2)：多项式相乘函数。
在这里，P1、P2是两个多项式系数向量。
（3）多项式除法
[Q,r] = deconv(P1,P2)：多项式相除函数。
其中，Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。
deconv式conv的逆函数，因此有
P1 = conv(Q,P2)+r
clear clc %多项式四则运算 f = [3,-5,0,-7,5,6]; g = [3,5,-3]; g1 = [0,0,0,g]; %加法运算 disp('f+g = '); s1 = f+g1; disp(s1); %减法运算 s2 = f-g1; disp('f-g = '); disp(s2); %乘法运算 s3 = conv(f,g); disp('f×g = '); disp(s3); %除法运算 [s4,r] = deconv(f,g); disp('f/g = '); disp(s4); disp('r = '); disp(r); %验证计算 conv(g,s4)+r
3、多项式的求导
polyder()：多项式求导函数。
（1）p = polyder(P)：求多项式P的导函数
（2）p = polyder(P,Q)：求P·Q的导函数
（3）[p,q] = polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。
%多项式求导 a = [3,1,0,-6]; b = [1,2]; b1 = [0,0,1,2]; p1 = polyder(a,b); [p2,p3] = polyder(a,b); disp('ab = '); disp(p1); disp('p2 = '); disp(p2); disp('p3 = '); disp(p3);
4、多项式的求值
polyval(p,x)：代数多项式求值。
其中，p为多项式系数向量；x可以是标量、向量或矩阵。若x为标量，则求多项式在该点的值；若x为向量或者矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求多项式的值。
polyvalm(p,x)：矩阵多项式求值
其调用格式与 polyol相同，但含义不同。 polyram函数要求x内方阵，以方阵为自变量求多项式的值。
%多项式求值 f = [1,8,0,0,-10]; x = [-1,1.2;2,-1.8]; y1 = polyval(f,x); disp('y1 = '); disp(y1); y2 = polyvalm(f,x); disp('y2 = '); disp(y2);
5、多项式的求根
root(p)：多项式求根函数。
其中，p为多项式的系数向量。
clear clc %求以下方程在 [0,2] 范围内最大值 % p(x) = -38.89x*x+126.11x-3.42 %先画图观察一下 x = [0:0.01:2]; p = -38.89*x.*x+126.11*x-3.42; plot(x,p); %利用极值点导数为零的特点求出极值点。 p0 = [-38.89,126.11,-3.42]; p1 = polyder(p0); x0 = roots(p1); p2 = polyval(p0,x0); disp('p2 = '); disp(p2); disp('x0 = '); disp(x0); %将极值点标识出来 hold on; plot(x0,p2,'rp'); hold on; plot([x0,x0],[-20,p2],'r--');
三、数据插值
数据插值可以根据有限个点的取值状况，合理估算出附近其他点的取值，从而节约大量的实验和测试资源，节省大量的人力、物力和财力。
1、引例-零件加工问题
求x每改变0.1时y的值
interp1()：一维插值函数。
调用格式：
Y1 = interp1(X,Y,X1method)
根据X、Y的值，计算函数在X1处的值。其中，X、Y是两个等长的已知向量，分别表示采样点和采样值。X1是一个向量或标量，表示要插值的点。
method用于指定插值方法，常用的取值有以下四种：
（1）linear：线性插值，默认方法。将与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据。
（2）nearest：最近点插值。选择最近样本点的值作为插值数据。
（3）pchip：分段3次埃尔米特插值。采用分段三次多项式，除满足插值条件，还需满足在若干节点处相邻段插值函数的一阶导数相等，使得曲线光滑的同时，还具有保形性。
（4）spline：三次样条插值。每个分段内构造一个三次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要有在各节点处具有连续的一阶和二阶导数。
多项式次数并非越高越高。次数越高，越容易产生震荡而偏离原函数，这种现象称为龙格现象。
2、数据插值的计算机制
clear clc %求x每改变一个0.1的值，插值函数使用 %先画散点图图看看 x = [0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]; y = [0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]; plot(x,y,'r*'); hold on; %使用插值函数补充未知的点 x1 = 0:0.1:15; y1 = interp1(x,y,x1,'spline'); plot(x1,y1,'k'); hold on; y2 = interp1(x,y,x1,'pchip'); plot(x1,y2,'r'); hold on; y3 = interp1(x,y,x1,'nearest'); plot(x1,y3,'b'); hold on; y4 = interp1(x,y,x1,'linear'); plot(x1,y4,'g'); legend('原函数','spline','pchip','nearest','linear');
3、数据插值的实现方法
interp2()：二维插值函数。
Z1 = interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)
其中，X、Y是两个向量，表示两个参数的采样点，Z是采样点对应的函数值。X1、Y1是两个标量或者向量，表示要插值的点。
4、应用案例-粮储仓的通风控制问题
clear
clc
%粮仓通风控制问题
x = 20:10:90;
y = (0:5:20)';
z = [8.9,10.32,11.3,12.5,13.9,15.3,17.8,21.3;8.7,10.8,11,12.1,13.2,14.8,16.55,20.8;8.3,9.65,10.88,12,13.2,14.6,16.4,20.5;8.1,9.4,10.7,11.9,13.1,14.5,16.2,20.3;8.1,9.2,10.8,12,13.2,14.8,16.9,20.9];
xi = 20:90;
yi = (0:20)';
zi = interp2(x,y,z,xi,yi,'spline');
surf(xi,yi,zi); 
四、数据插值应用举例
1、机动车刹车距离问题
clear
clc
v = 20:10:150;
vs = v*(1000/3600); %将单位由原来的公里每小时，变为米每秒。
d1 = 10*vs;
d2 = [3.15,7.08,12.59,19.68,28.34,38.57,50.4,63.75,78.71,...
95.22,113.29,132.93,154.12,176.87];
d3 = 10;
d = d1+d2+d3; %停车视距
vi = 20:150; %插值采样点
di = interp1(v,d,vi,'spline');
%如何根据停车视距120找到对应的速度？
x = abs(di-120);
[y,i] = sort(x);
b = vi(i(1));
plot(vi,di,vi(i(1)),di(i(1)),'rp');
disp('驾驶速度不能超过 ');
disp(b);
%设计一条最高时速125km/h的高速公路，则设计人员应该保证驾驶者在
%公路上任一点的可视距离为多少米？
j = find(vi == 125);
disp('任意一点的可视距离为');
di(j)
plot(vi,di,125,480.14,'rp');2、沙盘制作问题
%沙盘绘制任务
%根据已有数据绘制的地形图比较粗糙
x=0:200:1800;
y=x';
z=[2000,2000,2001,1992,1954,1938,1972,1995,1999,1999;2000,2002,2006,1908,1533,1381,1728,1959,1998,2000;
2000,2005,2043,1921,977,897,1310,1930,2003,2000;1997,1978,2009,2463,2374,1445,1931,2209,2050,2003;
1992,1892,1566,1971,2768,2111,2653,2610,2121,2007;1991,1875,1511,1556,2221,1986,2660,2601,2119,2007;
1996,1950,1797,2057,2849,2798,2608,2303,2052,2003;1999,1999,2079,2685,3390,3384,2781,2165,2016,2000;
2000,2002,2043,2271,2668,2668,2277,2049,2003,2000;2000,2000,2004,2027,2067,2067,2027,2004,2000,2000];
surf(x,y,z);
%数据插值之后数据就会变得丰满
x1 = 0:50:1800;
y1 = x1';
z1 = interp2(x,y,z,x1,y1,'spline');
subplot(1,2,1);
surf(x1,y1,z1);
%绘制等高线图
subplot(1,2,2);
contour(x1,y1,z1,12);
五、曲线拟合
1、引例——人口预测问题
本节代码如下：
%人口预测问题
x=[1790:10:2010];
y=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,...
50.2,63.0,76.0,92.0,105.7,122.8,131.7,...
150.7,179.3,203.2,226.5,248.7,281.4,308.7];
plot(x,y,'*');
p=polyfit(x,y,3); %生成三次多项式函数，将系数向量保存在p中。
polyval(p,2020) %计算polyval()函数，在2020处的函数值
plot(x,y,'*',x,polyval(p,x));
polyval(p,2016)
%因人口的增长规律与时间段有关，故将人口数据分为二战前后，分别进行拟合。
%以下是二战后的数据，人口拟合曲线
x = 1950:10:2010;
y = [150.7,179.3,203.2,226.5,248.7,281.4,308.7];
p1 = polyfit(x,y,3); %因为向量p1的前几个元素都为0,故应降低次数为2次。
disp('p1 = ');
disp(p);
p2 = polyfit(x,y,2);
plot(x,y,'*',x,polyval(p2,x));
p3 = polyval(p2,2016);
disp('2016预估人口为：');
disp(p3);
clear
clc
%建立x与y的线性函数经验公式,一次多项式
x = [0.6,1.0,1.4,1.8,2.2,2.6,3.0,3.4,3.8,4];
y = [0.08,0.22,0.31,0.4,0.48,0.56,0.67,0.75,0.8,1.0];
p = polyfit(x,y,1);
plot(x,y,'*',x,polyval(p,x));
2、曲线拟合的原理
与数据插值类似，曲线拟合也是去找一个函数，去逼近原来数据所表现出来的函数关系。构造的函数去逼近位置函数，使得误差在某种意义下达到最小。
一般采用多项式函数作为逼近函数，多项式函数有如下几个优点：将复杂问题简单化、表达能力强、计算方便、函数形态好。
误差最小化，用到最小二乘法。
3、曲线拟合的实现方法
polyfit()：多项式拟合函数
函数功能：求得最小二乘拟合多项式系数。
调用格式：
(1) P=polyfit(X,Y,m) P为多项式系数，m为多项式最高次次数。X、Y是样本数据。
(2) [P,S] = polyfit(X,Y,m) P为多项式系数，S为误差数据。
(3) [P,S,mu] = polyfit(X,Y,m)
根据样本数据X和Y，产生一个m次多项式P及其在采样点误差数据S，mu是一个二元向量，mu(1)是mean(X)——X向量的平均值，而mu(2)是std(X)——X向量的标准差。
（1）曲线的拟合，要对问题的背景进行详细的分析。
（2）采样点并非越多越好，适当的时候，可以减少采样点，分段进行拟合。逼近函数的最高次数也不是越高越好，要根据根据实际情况调整。
（3）曲线拟合的三个功能：估算数据、预测趋势、总结规律。
4、实际应用
六、曲线拟合应用举例
1、股票预测问题
clear
clc
%股票的预测问题
x = [2,3,4,5,8,9,10,11,12,15,16,17,18,19,22,23,24,25,26,29,30];
y = [7.74,7.84,7.82,7.78,7.91,...
7.97,7.9,7.76,7.9,8.04,8.06,8.11,8.08,...
8.13,8.03,8.01,8.06,8.0,8.3,8.41,8.28];
% plot(x,y,'*');
g = polyfit(x,y,3)
plot(x,y,'*',x,polyval(g,x));
x1 = [31,32,33]; %用拟合曲线预测往后的三个交易日股票价格走势
xi = [x,x1];
plot(x,y,'*',xi,polyval(g,xi)); %画出往后三个交易日的预测曲线
y1 = [8.27,8.17,9.54]; %股票以后三个交易日实际数据
plot(x,y,'*',xi,polyval(g,xi),x1,y1,'rp'); %将预测的曲线数据与实际数据画在同一个图上
%经过验证股票的走势并不能被拟合的曲线预测
2、算法的参数优化问题
clear
clc
format short;
%算法的参数最优化问题
x = 0.03:0.03:0.3;
y1 = [0.01,0.01,0.02,0.03,0.06,0.07,0.13,0.17,0.25,0.37];
y2 = [0.85,0.76,0.68,0.62,0.56,0.52,0.49,0.46,0.43,0.39];
plot(x,y1,'*',x,y2,'o');
hold on;
% 随机性参数的增长导致多样性增加，收敛性降低
% 两者同等重要，则取平衡点
% 平衡点最佳位置是多样性和收敛性相等的地方
p1 = polyfit(x,y1,2) %为啥使用二次多项式未知
p2 = polyfit(x,y2,2) %为啥使用二次多项式未知
plot(x,polyval(p1,x),'r',x,polyval(p2,x),'k');
%求两曲线交点的方法
p = p1-p2;
xi = roots(p);
disp('交点x值为 xi = ');
disp(xi);
xj = 0:0.03:0.36;
yj1 = polyval(p1,xj);
yj2 = polyval(p2,xj);
yi = polyval(p1,xi(2));
plot(x,y1,'*',x,y2,'o',xj,yj1,xj,yj2,xi(2),yi,'rp');
X = sprintf('交点为（%f，%f）',xi(2),yi);
disp(X);
%可以比较好的解决数据稳定变化的题目3、数据插值与曲线拟合的比较
相同点：
1、都属于函数逼近方法
2、都能进行数据估算
不同点：
1、实现方法不同，数据插值，要求逼近函数经过样本点；
曲线拟合，不要求逼近函数样本点，只要求总体误差最小。
2、结果形式不同，数据插值，往往分段进行逼近，没有同一的逼近函数；
曲线拟合，用一个函数进行整体逼近，有确定的函数表达式
3、侧重点不同，数据插值，一般用于样本区间内的插值计算；
曲线拟合，不仅可以估算区间内其他点的函数值，还可以预测时序数据的发展趋势，以及从统计数据中总结一般性经验。
4、应用场合不同，数据插值，样本数据采用精确数据，适合样本插值方法
曲线拟合，样本数据为统计数据或者存在误差，适合用曲线拟合的方法。