1、前记，今天的继续学习知乎专栏：https://zhuanlan.zhihu.com/c_1208096335112843264
所有代码：学习建议，复制粘贴到matlab脚本，保存命名自定，按小结运行。
%% 数据插值
%在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。
%插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，
%估算出函数在其他点处的近似值
x=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
y=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];
plot(x,y,'.') %生成离散点
%% 使用interp1函数：interp1（x,y,x1,mode）
x=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
y=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];
x1=0:0.1:15; %x从0到15，按精度为0，1进行插值
%
subplot(2,2,1); %将figure划分为2行2列
y1=interp1(x,y,x1,'linear');%相邻离散点用线段直接连起来（
plot(x1,y1);
title ('linear');
%
subplot(2,2,2);
y2=interp1(x,y,x1,'nearest');%最近点插值，选择最靠近的样本点的值作为差值数据
plot(x1,y2);
title ('nearest');
%
subplot(2,2,3);
y3=interp1(x,y,x1,'pchip');%分段3次埃尔米特插值，离散数据点在插值函数上，
%还要满足若干离散数据点处的一阶导数存在且连续，使得曲线平滑且具有保形性
plot(x1,y3);
title ('pchip');
%
subplot(2,2,4);
y4=interp1(x,y,x1,'spline');%三次样条插值，采用分段三次多项式，除满足离散数据点在插值函数上，
%还要满足若干离散数据点处的一阶导数和二阶导数存在且连续
plot(x1,y4);
title ('spline');
%% 曲线拟合
% 选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。
%% 最小二乘法，polyfit函数用于进行曲线拟合
clf
x=1790:10:2010;
y=[3 5 7 9 12 13 15 16 18 21 23 37 24 29 30 28 33 34 36 38 39 44 42];
plot(x,y,'r.')
f=polyfit(x,y,3); %polyfit(x,y,n),n=3就是用三次多项式进行拟合
x1=1790:0.2:2010; %重新定义自变量x1
y1=polyval(f,x1); %重新定义因变量y1，
plot(x,y,'r*',x1,y1,'b')
%通过对离散数据的拟合，可以对后面的数据进行预测
ans=polyval(f,2020);
%多项式函数拟合或插值，并非越高越好
%多项式函数次数越高容易产生振荡而偏离原函数，使得误差增大
%% dsolve函数可以进行微分方程的求解
%dsolve（f,g,x）.f,g指微分方程表达式，x是自变量
%在符号计算中，用D代表求导，Dy是y的一阶导数dy/dx（不是y的一阶微分），D2y是二阶导.....
%Dy2(3)=-1就是x=3,y''=-1
%求解微分方程：dy/dx=3*x^2*y
syms x y
f='Dy=3*x^2*y'%f来定义上面的微分方程用''包含
dsolve(f,x); %得出的是通解
%% 特解，给定一个条件
syms x y
f='x*y+(x^2+1)*Dy=0';%xy+(x^2+1)dy/dx=0
g='y(0)=1' %给定条件，y(0)=1
Slu=dsolve(f,g,x)
pretty(Slu)
%% 二项分布（服从0-1分布）：binopdf
%binopdf(k,n,p)
%三个参数，一共进行n次，事件发生了k次，每次概率为p
px=binopdf(45,100,0.5) %进行100次实验，事件发生45次，每次概率为0.5
%p(x=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)
%% 绘制概率密度曲线
clf
x=1:1:100;
p=binopdf(x,100,0.5);
plot(x,p);
title('二项分布')
%当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似,函数：poisspdf
%% 图像旋转
t=linspace(0,10*pi,200);
x=sin(t)+t.*cos(t);
y=cos(t)-t.*sin(t);
z=t;
subplot(1,2,1)
plot3(x,y,z);
xlabel('x轴');
grid on;
subplot(1,2,2)
f=plot3(x,y,z);%将图画赋值给f
%f是需要进行旋转的函数，v是一个一行三列的矩阵[x,y,z]，
%矩阵中每个元素只有0 1两个取值，代表绕哪个轴旋转，x是旋转的角度
rotate(f,[1 0 0],90)%对x轴选择90度
xlabel('x轴');
grid on;
%% 使用for循环完成动态图
clf
t=linspace(0,10*pi,200);
x=sin(t)+t.*cos(t);
y=cos(t)-t.*sin(t);
z=t;
f=plot3(x,y,z);%用f存储一下函数
xlabel('x=sint+tcost');
ylabel('y=cost-tsint');
zlabel('z=t');
title('三维螺旋线');
axis([-50,50,-50,50,0,40])
grid on;
for i=0:360
rotate(f,[0 0 1],1)
pause(0.003)
end
%% 图像三视图，隐函数句柄@的使用
%slice函数用于对图像进行切面
%slice(x,y,z,v，a,b,c)
%x,y,z,作为坐标定义三维图像v
%a,b,c作为矩阵，记录切面位置
f=@(x,y,z) x^2+y^2+z^2-4; %球的隐函数，（x,y,z）是调用句柄，x^2+y^2+z^2-4为想表达的式子
[x,y,z]=meshgrid(-2:0.1:2);%XYZ的取值范围-2到2，精度0.1
v=x.^2+y.^2+z.^2-4; %球
clf
fimplicit3(f,[-2 2 -2 2 -2 2],'d');%这个函数用于绘制三维隐函数图像
title('切割图')
hold on
slice(x,y,z,v,1,2,1.5)% 在x=1,y=2,z=1.5处切v
%% 三视图,view()调整视角
%创建函数和切面
clf
f=@(x,y,z) x^2+y^2+z^2-4;
[x,y,z]=meshgrid(-2:0.1:2);
v=x.^2+y.^2+z.^2-4;
%原图
subplot(2,2,1)
fimplicit3(f,[-2 2 -2 2 -2 2],'d')
hold on
slice(x,y,z,v,1,2,1.5)
%俯视图
subplot(2,2,2)
fimplicit3(f,[-2 2 -2 2 -2 2],'d')
hold on
slice(x,y,z,v,1,2,1.5)
view(0,90)
title('俯视图')
%主视图
subplot(2,2,3)
fimplicit3(f,[-2 2 -2 2 -2 2],'d')
hold on
slice(x,y,z,v,1,2,1.5)
view(270,0)
title('主视图')
%左视图
subplot(2,2,4)
fimplicit3(f,[-2 2 -2 2 -2 2],'d')
hold on
slice(x,y,z,v,1,2,1.5)
view(180,0)
title('左视图')
%% 泰勒展开：taylor函数
%f=taylor(y,x,x0,'Order',n)
%自变量x，函数y，在x=x0点展开，'Order'必须加上（包括单引号）
%n是指高阶无穷小，也就是展开到n-1阶
syms x y%解析式要用符号变量定义
y=sin(x)
f=taylor(y,x,0,'Order',6)
pretty(f)
%% 动态过程
clf
for i=1:2:36
x=linspace(-5*pi,5*pi,30000);
y=sin(x);
plot(x,y,'r-')
hold on %以下是展开过程
syms x y
y=sin(x);
f=taylor(y,x,0,'Order',i); %从一阶开始展开到三十六阶展开
h=ezplot(f,[-5*pi,5*pi]); %这里因为是用的符号变量，要用ezplot来画图
axis([-5*pi,5*pi,-1.2,1.2]);
set(h,'Color','m')
pause(0.5)
hold off
end
%% 求函数的反函数：finverse(y,x)
%其中x，y分别为自变量，因变量--->y=lnx的反函数为e^x
syms x y f
y=log(x); %以e为底数的对数，数学中的lnx
f=finverse(y,x);
%% fimplicit3函数，对三维的隐函数绘图
%调用格式fimplicit3（f,[xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax]）
%注意这里的f需要用函数句柄调用：@（x,y,z）
clf
g=@(x,y,z) x^2+y^2+z^2-1; %定义球的隐函数
fimplicit3(g,[-1 1 -1 1 -1 1],'b')%画g函数，xyz范围已定，颜色为蓝色
%% 对函数解析式进行修改subs
% subs函数用于对解析式进行修改：
%调用格式：subs(f,f1,f2) 将表达式f中的f1片段替换成f2
syms x f
f=sin(x)+x
g=subs(f,sin(x),log(x)) %将f=sin(x)=x中的sin(x)替换成log(x).结果为：g=log（x）+x
%% 傅里叶变换，函数的逼近
%任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示
%选择正弦函数与余弦函数作为基函数
%web('https://zhuanlan.zhihu.com/p/41455378','-browser')%打开关于傅里叶级数的推导知乎网页
%% 调用下述自定义的傅里叶函数
syms x f
f=x*(x-pi)*(x-2*pi);
F=fuliye(f,x,6,0,2*pi);
%因为调用的关系，将局部定义的函数放在被调用之后
%因为脚本中的函数定义必须出现在文件的结尾。所以自定义的函数在最后
%% 动态演变过程,对分段函数f(x)=|x|/x的逼近
clf
syms x
y=abs(x)/x;
xx=-pi:pi/100:pi;
xx=xx(xx~=0); %抠点（去除0），分母不能有0
yy=subs(y,x,xx); %替换。这里不大好懂，为了使用plot函数，
%我们要用密集的点坐标而不是符号量x来绘图
L=pi;
a0=int(y,x,-L,L);%积分
f=a0/2;
F=subs(f,x,xx); %替换
plot(xx,yy,xx,F);
axis([-pi,pi,-1.5,1.5])
pause(0.1) %间隔0.1秒
hold off
for i=1:20
ai=int( y*cos(i*pi*x/L),x,-L,L )/L;
bi=int( y*sin(i*pi*x/L),x,-L,L )/L;
f=f+ai*cos(i*pi*x/L)+bi*sin(i*pi*x/L); %累加，这里没有使用自定义函数，
%是为了提高计算效率，原理有点类似算法竞赛中的递推，省去了一些没有必要的重复计算
F=subs(f,x,xx);
plot(xx,yy,xx,F)
axis([-pi,pi,-1.5,1.5])
pause(0.001) %因为运算本身需要耗时间，
%所以停顿时间就设置的极短。但是为了展示动态效果，不得不加上pause函数
hold off
end
%% 要调用的自定义函数，傅里叶函数的简单定义
% 给定周期函数为f(x),x属于[-L,L]
%则，f(x)=f(x+kT),k为自然数，T为周期
%如果区间不对称，下x属于[a，b]
%则将函数向左平移（a+b）/2个单位，此时L=(b-a)/2
%傅里叶级数为f(x)=a0/2+{ai*cos(i*pi*x/L)+bi*sin(i*pi*x/L)}，
%这里{}表示i=1到正无穷的累加
function F= fuliye(f,x,n,a,b) %表达式f,自变量x，n阶展开，区间（a,b）
L=(b-a)/2;
if abs(a+b)>0 %不对称
f=subs(f,x,x+L+a); %向左平移，用到subs函数对解析式进行修改
end
a0=int(f,x,-L,L);F=a0/2;
for i=1:n %累加和我们用for循环实现
ai=int( f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L )/L ; %int函数表示积分
bi=int( f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L )/L;
F=F+ai*cos(i*pi*x/L)+bi*sin(i*pi*x/L);
end
if abs(a+b)>0
F=subs(F,x,x-L-a); %再平移回来
end
end