判断包围盒是否相交

目标

判断两个物体的包围盒是否相交，这是个常见的问题，通常用于排除一些不相关的计算。

其公式是简单的，但我想对其进行一些“推导”或说“讨论”，来加深对公式的理解。

参考资料：《包围盒是否相交判断_包子的博客-CSDN博客》

一维的情况

先将问题简化成一个维度的情况，此时问题变成了两个区间是否有相交。

设A区间为$[A_{min},A_{max}]$，设B区间为$[B_{min},B_{max}]$

如何判断“相交”可能不好想象，但是其相反问题——如何判断“不相交”，则容易想象。
“不相交”只可能有两种情况：

1）A区间整体在B区间的左边：

即：$A_{max}<B_{min}$

2）A区间整体在B区间的右边：

即：$A_{min}>B_{max}$

也就是说：
$$不相交=(A_{max}<B_{min})或(A_{min}>B_{max})$$

那么其相反的情况，即可以通过德·摩根定律(或者说“反演律”)得到：
$$相交=(A_{max}>B_{min})且(A_{min}<B_{max})$$

二维的情况

现在将一维的情况升为二维，此时问题变成了两个矩形是否有相交。

设A矩形为$(A{x}_{min},A{y}_{min}),(A{x}_{max},A{y}_{max})$，B矩形为$(B{x}_{min},B{y}_{min}),(B{x}_{max},B{y}_{max})$。

可以想象，如果只有一个轴满足“相交”而另一个轴上不相交，则矩形并不会相交：

矩形相交的条件是必须两个轴上都相交：

即：

$$\begin{array}{rl}相交& =x轴上相交且y轴上相交\\ & =((A{x}_{max}>B{x}_{min})且(A{x}_{min}<B{x}_{max}))且((A{y}_{max}>B{y}_{min})且(A{y}_{min}<B{y}_{max}))\\ & =(A{x}_{max}>B{x}_{min})且(A{x}_{min}<B{x}_{max})且(A{y}_{max}>B{y}_{min})且(A{y}_{min}<B{y}_{max})\end{array}$$

三维的情况

很容易想象，三维的情况只不过是比二维多考虑了一个轴向，即：
$$\begin{array}{rl}相交& =x轴上相交且y轴上相交且z轴上相交\\ & =((A{x}_{max}>B{x}_{min})且(A{x}_{min}<B{x}_{max}))且((A{y}_{max}>B{y}_{min})且(A{y}_{min}<B{y}_{max}))且((A{z}_{max}>B{z}_{min})且(A{z}_{min}<B{z}_{max}))\\ & =(A{x}_{max}>B{x}_{min})且(A{x}_{min}<B{x}_{max})且(A{y}_{max}>B{y}_{min})且(A{y}_{min}<B{y}_{max})且(A{z}_{max}>B{z}_{min})且(A{z}_{min}<B{z}_{max})\end{array}$$

更高维的情况以此类推。