引言
原文链接：一文带你读懂二叉树 希望点进去的小伙伴关注一下我的公众号哟，文末有二维码，谢谢！
1、二叉树的基本概念
二叉树定义：结点的度最多为2
二叉树的五种形态：
-
空二叉树
-
只有一个根结点
-
根结点只有左子树
-
根结点只有右子树
-
根结点既有左子树又有右子树
特殊的二叉树：
-
斜树：分为左斜树和右斜树，其实这算是一种线性结构了
-
满二叉树：如图1所示。
-
完全二叉树：如图2所示。满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满的。而图3中的三颗树，都不是完全二叉树。
图1
图2
图3
2、二叉树的性质
-
在二叉树的第i层上，最多有2i-1个结点；
-
深度为k的二叉树，最多有2k-1个结点；
-
对任何一棵二叉树T，如果其叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1；
-
具有n个结点的完全二叉树的深度为|log2n+1|（|x|表示不大于x的最大整数）；
-
对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号(从上到下从左到右，如图4所示)，对任一结点i（1≤i≤n）有：
-
结点i的左孩子为2i，右孩子为2i+1。
-
如果i>n/2，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）。
-
如果i>(n-1)/2，则结点i无右孩子。
图4
下面就来证明一下上述性质。1、2、4这个挺好理解的，无需证明。
关于第三点，为什么n0=n2+1呢？首先，n=n0+n1+n2这个是毫无疑问的。
然后将我们的注意力转移到分支线上，而不是结点上。
对于一颗有n个结点的二叉树来说，除了根结点头顶上没有分支线连接它，其余结点的头顶上有且仅有一条分支线与它对应，因此分支线总数=n0+n1+n2-1。
度为2的结点脚下有2条分支线，度为1的有1条，度为0的有0条，因此分支线总数=2*n2+n1。
根据上述标记为红色字体的两条公式，即可得出结论。
关于第五点，其实只用证明结点i的左孩子为2i即可，后面的结论都是根据这个结论而来的。下面的证明与图4有关。注意这是一颗完全二叉树。
首先我们证明这棵树的每一层的最左边结点i是否满足左孩子为2i(左孩子必然在该结点的下一层的最左边)。比如证明结点4的左孩子是否为8。假设结点4在k层(当然结点4在3层，k只是针对一般情况),那么结点4的值为2k-1，结点4的左孩子的值为2k，因此满足。
接下来证明不在每一层的最左边的结点i是否满足左孩子为2i。比如证明结点5的左孩子是否为10。设最左边的结点为i，结点5相对于本层最左边那个结点来说，偏移了n个单位（即结点5相对于结点4偏移了1个单位，n只是针对一般情况），结点5的值为i+n；其左孩子必然偏移2n个单位，结点5左孩子的值位2i+2n，因此满足。
3、二叉树的存储结构
对于一般的树来说，是不太适合用顺序存储结构来存储树的逻辑关系的，但是二叉树作为一种特殊的树，是可以这样做的。如下图所示。
这张图表明用数组去存储一颗普通的二叉树，如果某个结点不存在，则用空值表示。对于普通二叉树来说，顺序存储显然是浪费空间的，因此顺序存储结构一般只适用于完全二叉树。
第二种就是用二叉链表了。因为作为一颗二叉树，很容易想到每个结点应该存储结点的值和左右孩子的指针，如果想快速找到某个结点的双亲，则还可以加一个双亲指针。二叉链表如下图所示。
4、二叉树的遍历
二叉树的遍历：按照一定的次序，将树中的所有结点遍历一次。
遍历方式：
-
前序遍历
-
中序遍历
-
后序遍历
-
层序遍历：从上到下、从左到右。
其中，前中后是相对于任一子树的根节点来说的。
下面用Java代码实现前中后三种遍历方式。
首先定义结点类。
public class Node{
private Node left;
private char data;
private Node right;
public Node(Node left, char data ,Node right) {
this.left = left;
this.right = right;
this.data = data;
}
// 省略getter/setter方法
}然后定义遍历类，该类有三个方法，分别对应前中后遍历，因为树的定义是采用递归思想的，因此树的遍历也采用了递归。另外该类还有一个构建树的方法，构建的树如下图所示。最后就是main方法了，相信大家都能看懂。
public class BinaryTreeTraverse {
/**
* 先序
*/
public void firstTraverse(Node node){
if(node == null){
return;
}
System.out.print(node.getData());
firstTraverse(node.getLeft());
firstTraverse(node.getRight());
}
/**
* 中序
*/
public void middleTraverse(Node node){
if(node == null){
return;
}
middleTraverse(node.getLeft());
System.out.print(node.getData());
middleTraverse(node.getRight());
}
/**
* 后序
*/
public void laterTraverse(Node node){
if(node == null){
return;
}
laterTraverse(node.getLeft());
laterTraverse(node.getRight());
System.out.print(node.getData());
}
/**
* 构建二叉树,并返回根结点
*/
public Node buildTree(){
Node node_k = new Node(null, 'K', null);
Node node_h = new Node(null, 'h', node_k);
Node node_d = new Node(node_h, 'd', null);
Node node_e = new Node(null, 'e', null);
Node node_b = new Node(node_d, 'b', node_e);
Node node_i = new Node(null, 'i', null);
Node node_j = new Node(null, 'j', null);
Node node_f = new Node(node_i, 'f', null);
Node node_g = new Node(null, 'g', node_j);
Node node_c = new Node(node_f, 'c', node_g);
Node node_a = new Node(node_b, 'a', node_c);
return node_a;
}
public static void main(String[] args) {
BinaryTreeTraverse traverse = new BinaryTreeTraverse();
Node root = traverse.buildTree();
//先序遍历
traverse.firstTraverse(root);
System.out.println();
//中序遍历
traverse.middleTraverse(root);
System.out.println();
//后序遍历
traverse.laterTraverse(root);
}
}5、二叉树的建立
上面讲到了二叉树的遍历，但是如果我们的内存中都没有一颗二叉树，又哪来的遍历呢？因此下面我来讲讲二叉树的建立。
上面的例子中其实已经包含了二叉树的建立，但那是通过硬编码建立的，不符合一般情况。
我们可以通过二叉树的遍历结果反向构建二叉树。比如说先序遍历吧，可以根据其先序遍历结果来构建一颗二叉树，另外，我们还需要加一些虚结点，以保证能顺利地在内存中构建出一条二叉链条出来。
本次要构建的二叉树原型如下图所示。
然后我们加一些虚节点，如下图所示。
本来的先序遍历结果应该是：ABDHKECFIGJ，我们将虚结点记为#(别的符号也可以)，其先序遍历结果就变为了：ABDH#K###E##CFI###G#J##，这个很容易弄错，一定要仔细，否则输入（即将遍历结果视为输入，将构建出来的二叉树视为输出）都是错误的，那么构建出来的二叉树肯定也是错的。
二叉树的构建也由递归来实现，下面用Java代码实现通过先序遍历结果来构建一颗二叉树。
首先是结点Node类。
public class Node{
private Node left;
private char data;
private Node right;
public Node(Node left, char data ,Node right) {
this.left = left;
this.right = right;
this.data = data;
}
// 省略getter/setter方法
@Override
public String toString() {
return "Node{" +
"left=" + (left==null?"null":left.getData()) +
", data=" + data +
", right=" + (right==null?"null":right.getData()) +
'}';
}
}然后是具体的实现逻辑。
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class BinaryTreeBuilder {
private List<Node> nodes;
/**
* 索引跟踪，每构建一个结点就加1，包括虚结点
*/
private int index;
/**
* 构建某个结点,仅适用于先序构建
* @param curIndex 该结点的索引，该索引不能只能存于方法客栈
*/
public void buildNode(int curIndex){
index++;
//如果要构建的结点是个虚结点，那就不用构建左子树和右子树了，直接return；
if(null == nodes.get(curIndex)){
return;
}
// 递归构建左子树
buildLeft(curIndex);
// 递归构建右子树
buildRight(curIndex);
}
/**
* 构建左子树
* @param curIndex 要构建左孩子的结点的索引
*/
public void buildLeft(int curIndex){
//设置左孩子
nodes.get(curIndex).setLeft(nodes.get(index));
//构建左孩子结点，因此传入的索引是左孩子的索引
buildNode(index);
}
/**
* 构建右子树
* @param curIndex 要构建右孩子的结点的索引
*/
public void buildRight(int curIndex){
//设置右孩子
nodes.get(curIndex).setRight(nodes.get(index));
//构建右孩子结点，因此传入的索引是右孩子的索引
buildNode(index);
}
public void initNodes(char[] arr){
nodes = new ArrayList<>();
for (char c : arr) {
if(c=='#'){
nodes.add(null);
}else{
nodes.add(new Node(null,c,null));
}
}
}
/**
* 构建完成，打印构建结果
*/
public void buildOK(){
for (Node node : nodes) {
if(null == node){
continue;
}
System.out.println(node.getData()
+" -(左孩子->"+(node.getLeft()==null?"null":(node.getLeft().getData()+" "))+")"
+" -(右孩子->"+(node.getRight()==null?"null":(node.getRight().getData())+" ")+")");
}
}
public void buildTree(char[] arr,String charArrType){
initNodes(arr);
if("先序构建".equals(charArrType)){
buildNode(0);
}else if("中序构建".equals(charArrType)){
// 请参考buildNode先序构建方法，实现中序构建
}else if("后序构建".equals(charArrType)){
// 请参考buildNode先序构建方法，实现后序构建
}else{
return;
}
buildOK();
}
public static void main(String[] args) {
BinaryTreeBuilder builder = new BinaryTreeBuilder();
builder.buildTree("ABDH#K###E##CFI###G#J##".toCharArray(),"先序构建");
}
}最后运行程序，构建出来的结果如下图所示。
我仔细验证了一下，是没有问题的。至于根据中、后序遍历结果来构建二叉树的逻辑，由你们来动脑实现吧！
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