MATLAB 系统仿真与建模（一）—— 连续线性系统的数学模型

0 前言

本文参考

1. 《控制系统仿真与计算机辅助设计 · 第2版》薛定宇 机械工业出版社
2. 《MATLAB for Control Engineers》Katsuhiko Ogata
3. 现代控制理论线性系统入门(一)状态方程描述下的动态系统
4. 《现代控制理论基础》— 2 什么是状态与状态空间

本文已假设读者具有自动控制原理的理论基础

本教程笔记基于 MATLAB R2020a

1 线性系统的传递函数模型

在经典控制之中，连续线性系统一般可以用传递函数表示。还可以使用零极点来表示

我们知道传递函数的定义式为：
$$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\cdot \cdot \cdot +b_{m-1}s+b_m}{a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +a_{n-1}s+a_n}=\frac{M(s)}{N(s)}$$
对分母包含高次多项式的传递函数，进行部分分式展开的计算是很费时间的。在这种情况下， 建议采用 MATLAB 来完成。 MATLAB 有一条命令能够获得 $C(s)/R(s)$ 的部分分式展开式。它还有一条命令能够获得 $C(s)/R(s)$ 的零点和极点。

$$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{num}{den}=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\cdot \cdot \cdot +b_{m}s+b_{m+1}}{s^n+a_1{s}^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +a_{n-1}s+a_n}$$
其中某些 $a_i$ 和 $b_i$ 可以是零。对于物理可实现系统来说，一定要满足 $m\le n$ ，这种情况下又称为系统为正则（proper），若 $m<n$ ，则称系统为严格正则。 $n-m$ 又称为系统的相对阶次。

在 MATLAB中，行向量 num 和 den 具体指明了传递函数的分子和分母的系数。也就是说：
$$\begin{gathered} num=[b_0{b}_1...b_n] \\ den=[1a_1...a_n] \end{gathered}$$

1.1 用一个对象表示传递函数模型 tf()：

$$eg.G(s)=\frac{s^3+7s^2+24s+24}{s^4+10s^3+35s^2+50s+24}$$

则代码如下：

num = [1 7 24 24];
den = [1 10 35 50 24]; % 按 s 降幂顺序输入多项式系数
G = tf(num, den);

或者有第二种方式：

s = tf('s'); % 定义传递函数的算子
G = (s^3+7*s^2+24*s+24)/(s^4+10*s^3+35*s^2+50*s+24);

这个时候我们就能得到系统的数学模型 $G$ 了

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关于tf函数详细描述可看右边链接：https://www.mathworks.com/help/control/ref/tf.html

1.2 不是完全展开形式使用 conv()：

如果分子或分母多项式给出的不是完全展开的形式，而是若干个因式的乘积，则事先需要将其变换为完全展开的形式，两个多项式的乘积在MATLAB 下可以借用卷积求取函数 conv() 求出：

p = conv(p1, p2); % p2 与 p2 是两个多项式，这个函数返回乘积多项式 p

如果有 3 个多项式的乘积，就需要嵌套适用此函数：

p = conv(p1, conv(p2, p3));

$$G(s)=\frac{5(s+2.4)}{(s+1{)}^2(s^2+3s+4)(s^2+1)}$$

则上式我们可以采用：

num = 5*[1, 2.4];
den = conv([1, 1], conv([1, 1], conv([1 3 4], [1 0 1])));
G = tf(num, den)

则输出结果：

也可以采用算子直观输入：

s = tf('s');
G = 5*(s+2.4)/((s+1)^2*(s^2+3*s+4)*(s^2+1));

用算子输入通常比较方便，但是不适合自动类型的程序。

1.3 使用 stepplot() 与 impulseplot() 画出系统的阶跃响应与冲激响应图像

代码如下：

stepplot(G);
% impulseplot(G);  % 不展示结果

则我们可以看到这个系统的阶跃响应输出曲线：

1.4 使用 step() 与 impulse() 绘制系统的阶跃响应和冲激响应

与 1.3 同理，也可以不转换成系统直接画出响应，如下：

num = [0 0 10];
den = [1 2 10];
step(num, den)

1.5 使用 get() 获取对象 tf 属性

代码如下：

get(G);

则我们可以得到如下信息：

Numerator: {[0 0 0 0 0 5 12]}
Denominator: {[1 5 12 16 15 11 4]}
Variable: ‘s’
IODelay: 0
InputDelay: 0
OutputDelay: 0
Ts: 0
TimeUnit: ‘seconds’
InputName: {’’}
InputUnit: {’’}
InputGroup: [1×1 struct]
OutputName: {’’}
OutputUnit: {’’}
OutputGroup: [1×1 struct]
Notes: [0×1 string]
UserData: []
Name: ‘’
SamplingGrid: [1×1 struct]

我们可以直接修改系统的延迟时间常数：

G.IODelay = 2.1;

1.6 使用 tfdata() 来提取系统的分子分母多项式

代码如下：

[n, d] = tfdata(G, 'v'); % 'v' 表示想获得数值

或者：

num = G.num{1}; % 直接提取分子多项式
den = G.den{1}; % 直接提取分母多项式
% 这里的{1}实际上为{1, 1}，表示第一路输入和第一路输出之间的传递函数，该方法直接适合MIMO系统的描述

1.7 使用 residue() 求部分分式展开式中的留数，极点和直接项

则我们直接进入代码：

num = [b0 b1 ... bn];
den = [a0 a1 ... an];
[r, p, k] = residue(num, den);

可以求出两个多项式 $C(s)$ 和 $R(s)$ 之比的部分分式展开式中的留数 $(r)$ ，极点 $(p)$ 和直接项 $(k)$ 。

$$e.g.B(s)/A(s)=\frac{2s^3+5s^2+3s+6}{s^3+6s^2+11s+6}$$

num = [2 5 3 6];
den = [1 6 11 6];
[r, p, k] = residue(num, den)

则输出如下：

r =

-6.0000
-4.0000
3.0000

p =

-3.0000
-2.0000
-1.0000

k =

​ 2

可以看出，留数由向量 r 给出，极点位置由向量 p 给 出， 直接项则由向量 k 给 出。上述结果就是 $B(s)/A(s)$ 的部分分式展开式 :
$$B(s)/A(s)=\frac{2s^3+5s^2+3s+6}{s^3+6s^2+11s+6}=\frac{-6}{s+3}+\frac{-4}{s+2}+\frac{3}{s+1}+2$$
还可以反过来部分分式展开式构成（分子和分母）多项式。

r = [-6 -4 3];
p = [-3 -2 -1];
k = 2;
[num, den] = residue(r, p, k)

则输出如下：

num =

​ 2 5 3 6

den =

​ 1 6 11 6

1.8 使用 damp(num, den) 求出计算系统的闭环根、阻尼比、无阻尼振荡频率

num = [0 0 10];
den = [1 2 10];
G = tf(num, den);
damp(den);

得出结果如下：

         Pole                      Damping       Frequency       Time Constant   
                                (rad/TimeUnit)     (TimeUnit)    

-1.00e+00 + 3.00e+00i 3.16e-01 3.16e+00 1.00e+00
-1.00e+00 - 3.00e+00i 3.16e-01 3.16e+00 1.00e+00

所以：
闭环根为：s1 = -1+3j，s2 = -1-3j
阻尼比：ζ=0.316
无阻尼振荡频率：ω_n=3.16

1.9 使用 printsys() 从留数，极点和直接项获得原始函数

代码如下：

printsys(num, den, 's')

输出结果如下：

num/den =

2 s^3 + 5 s^2 + 3 s + 6

---------------------------

s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6

1.10 使用 [num, den]=ord2(${\omega }_n,\zeta$) 建立二阶系统标准模型

[num, den]= ord2(1, 1);
printsys(num, den, 's')

得到输出结果如下：

num/den =
1
-------------
s^2 + 2 s + 1

2 线性系统的状态方程模型

注：笔者目前暂未学习现代控制理论，所以此处参考了来自知乎的：现代控制理论线性系统入门(一)状态方程描述下的动态系统 以及 《现代控制理论基础》— 2 什么是状态与状态空间

• 状态方程是描述控制系统的另一种重要的方式。和传递函数不同，状态方程可以描述更广的一类系统模型，包括非线性模型。

• 现代控制理论有一种不错的方法，能够很快判断系统稳定性也很便于设计控制器。它就是基于状态空间描述的状态方程模型，由于状态方程模型基于矩阵，更便于现代的计算机求解。

• 把一个系统当作黑箱，那么这个黑箱和外界的交互关系，就对应了有不同时间的输入输出。在 $t$ 时刻，这 $m$ 个会影响系统的输入量在控制理论里称为 控制变量 ，而这 $p$ 个系统输出的可以被传感器测量的量称为 测量变量 ，现在我们做一些基本假设，限制一些条件，只研究连续时变的线性系统。而且系统的行为，即输出量，由描述系统的函数通过输入量，在时域上唯一确定。我们把系统的行为分为 静态和动态 两类。系统的状态受过去影响，随时间变化。这样的系统被称为动态系统。

• 状态方程： 有 $n$ 个状态 $x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n$ ，构成状态变量向量，当且仅当 $p$ 个输出信号 $y_1,y_2,\cdot \cdot \cdot ,y_p$ 完全由初始状态 $x_1(t_0),x_2(t_0),x_3(t_0),\cdot \cdot \cdot ,x_n(t_0)$ 以及 $m$ 个输入量 $u_1(\tau ),u_2(\tau ),\cdot \cdot \cdot ,u_m(\tau )$ 在 $\tau \in [t_0,t]$ 内的历史决定，则此动态系统的状态方程可以可以由有限个一阶常微分方程组描述：
  $$\begin{gathered} \stackrel{\cdot }{x_1}=f_1(x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n,u_1,u_2,\cdot \cdot \cdot ,u_m),x_1(t_0)=x_{1,0} \\ \stackrel{\cdot }{x_2}=f_1(x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n,u_1,u_2,\cdot \cdot \cdot ,u_m),x_2(t_0)=x_{2,0} \\ \cdot \cdot \cdot \cdot \\ \stackrel{\cdot }{x_n}=f_1(x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n,u_1,u_2,\cdot \cdot \cdot ,u_m),x_n(t_0)=x_{n,0} \end{gathered}$$
  同时输出方程为：
  $$\begin{gathered} y_1=h_1(x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n,u_1,u_2,\cdot \cdot \cdot ,u_m,t) \\ {y}_2=h_2(x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n,u_1,u_2,\cdot \cdot \cdot ,u_m,t) \\ \cdot \cdot \cdot \cdot \\ {y}_p=h_p(x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n,u_1,u_2,\cdot \cdot \cdot ,u_m,t) \end{gathered}$$
  当然我们可以向量形式来描述这些方程组：
  $$\begin{gathered} \text{x}=[x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n{]}^T \\ \text{u}=[u_1,u_2,\cdot \cdot \cdot ,u_m{]}^T \\ \text{y}=[y_1,y_2,\cdot \cdot \cdot ,y_p{]}^T \end{gathered}$$
  我们就可以用更加紧凑的方式来描述它：
  $$\begin{gathered} \{\begin{array}{r}\stackrel{\cdot }{x}=f(\text{x},\text{u},t)\\ \text{y}=h(\text{x},\text{u},t)\end{array} \\ x(t_0)=x_0 \end{gathered}$$

  所以在t时刻，所有状态变量就可以用n维的向量空间描述，也即状态空间。在一个时间区间内，状态空间所有的状态量的点集就构成了一条轨迹。

  

• 我们梳理一遍：

  1. 状态

     系统在时间域中的行为或运动信息的集合，表征了系统运动的信息和行为。

  2. 状态变量

     对状态变量有两个要求，一是要求最少，二是要求完整，就是说要用系统中的一组最少的变量去表征系统。当我们知道一个系统的初始条件和系统在初始时间以后的输入的话，就能完全确定该系统在任何时间的行为。

     • 状态变量的选取不是唯一的，但是选取的状态变量是独立的

     • 状态变量本身是数学上的概念，并不需要在物理上有意义或能被测量。
     • n 阶系统有 n 个独立的状态变量，且有 n 个独立的初始条件

  3. 状态向量

     能够完全描述一个系统行为的 $n$ 个状态变量，将它们看作向量 $x(t)$ 的分量，则 $x(t)$ 称为状态向量，记作 $x(t)=[x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n{]}^T$

  4. 状态空间与状态轨迹

     状态空间是 n 个状态变量作为坐标系所组成的 n 维空间，也是状态向量 x(t) 所在的空间。

     状态轨迹则是，在状态空间中状态向量端点随时间变化而描出的路径。

  5. 状态方程

     我们将系统的状态向量与输入之间建立关系式（一组一阶微分方程），这种关系式就称为状态方程： $\stackrel{\cdot }{\text{x(t)}}=f(\text{x},\text{u},t)$

  6. 输出方程

     我们将系统的输出与状态向量、输入之间建立关系式（一个代数方程），这种关系式就称为输出方程：$\text{y(t)}=h(\text{x},\text{u},t)$

  7. 状态空间表达式

  我们将状态方程和输出方程放在一起，就构成了系统的状态空间表达式，又称动态方程。
  公式
  $$\{\begin{array}{r}\stackrel{\cdot }{x}=f(\text{x},\text{u},t)\\ \text{y}=h(\text{x},\text{u},t)\end{array}$$

当用状态方程模型来表示线性系统的时候，可以更简单的表述为：
$$\{\begin{array}{r}\stackrel{\cdot }{x}(t)=\text{A}(t)\text{x}(t)+\text{B}(t)\text{u}(t)\\ \text{y}(t)=\text{C}(t)\text{x}(t)+\text{D}(t)\text{u}(t)\end{array}$$

• $A$ 是状态矩阵
• $B$ 是输入矩阵
• $C$ 是输出矩阵
• $D$ 是直接转移矩阵

$u$ 与 $y$ 分别是输入和输出变量， $A,B,C,D$ 都是维数相容的矩阵。

当四个矩阵与时间均无关，我们又可以称之为线性时不变系统：
$$\{\begin{array}{r}\stackrel{\cdot }{x}(t)=\text{A}\text{x}(t)+\text{B}\text{u}(t)\\ \text{y}(t)=\text{C}\text{x}(t)+\text{D}\text{u}(t)\end{array}$$

2.1 使用 ss() 建立系统状态方程模型

代码如下：

A =[0, 1, 0; 0 0 1; -6 -11 -6]; 
B = [1 0; 2 -1; 0 2]; 
C = [1 -1 0; 2 1 -1]; 
D = zeros(2);
G = ss(A, B, C, D);

显示效果：

G =

A =
x1 x2 x3
x1 0 1 0
x2 0 0 1
x3 -6 -11 -6

B =
u1 u2
x1 1 0
x2 2 -1
x3 0 2

C =
x1 x2 x3
y1 1 -1 0
y2 2 1 -1

D =
u1 u2
y1 0 0
y2 0 0

Continuous-time state-space model.

2.2 使用 ssdata() 获取状态方程对象参数

代码如下：

[a,b,c,d] = ssdata(G);
[a,b,c,d,Ts] = ssdata(G);

或者直接使用 G.a 的命令来提取。

2.3 带有时间延迟的状态方程模型表示

可以表示为：
$$\{\begin{array}{r}\stackrel{\cdot }{x}(t)=\text{A}\text{x}(t)+\text{B}\text{u}(t-\tau )\\ \text{y}(t)=\text{C}\text{x}(t)+\text{D}\text{u}(t-\tau )\end{array}$$
输入模型的时候使用如下代码即可：

G = ss(A, B, C, D, 'IODelay', Ts); % Ts 为上面的时间延迟tau

3 线性系统的零极点模型

系统的传递函数模型给出之后，我们可以马上知道系统的零极点模型。

3.1 使用 zpk() 表示零极点模型（零点极点）

代码如下：

G = zpk(Z, P, K); % Z 为系统的零点列向量，P 为系统的极点列向量，K 为系统的增益 

例如下面的零极点模型：
$$G(s)=\frac{(s+1.539)(s+2.7305+2.8538j)(s+2.7305-2.8538j)}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)}$$
则我们代码如下：

P = [-1; -2; -3; -4];
Z = [-1.539; -2.7305+2.8538i; -2.7305-2.8538i];
G = zpk(Z, P, 1); 

则 matlab 的输出结果为：

G =

(s+1.539) (s^2 + 5.461s + 15.6)

-----------------------------

(s+1) (s+2) (s+3) (s+4)

Continuous-time zero/pole/gain model.

当没有零点的时候，我们使用空向量来代替，比如说：
系统的开环传递函数为：
$$G(s)=\frac{1.5}{s(s+1)(s+2)}$$
我们使用matlab描述则格式如下：

G = zpk([], [0, -1, -2], 1.5); 

3.2 使用 pzmap()​ 来绘制零极点位置

代码如下：

pzmap(G);

绘制出的图像如下：

3.3 使用 tf2zp() 来求取传递函数模型系统的零极点

代码如下：

num = [4 16 12];
den = [1 12 44 48 0];
[z, p, K] = tf2zp(num, den);

Matlab 输出结果如下：

z =

​ -3
​ -1

p =

​ 0

-6.0000
-4.0000
-2.0000

K =

​ 4

零点位于 s = -3 和 -1。极点位于s =0, -6, - 4 和 -2。增益 K 是 4 。

4 多变量系统的传递函数矩阵模型

此处笔者未涉猎，暂时不写，等涉猎了继续补充

5 动态系统数学模型的相互转换

5.1 传递函数模型到状态空间模型的变换 ( tf2ss )

命令：

[A, B, C, D] = tf2ss(num, den);

将具有传递函数形式：
$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{num}{den}=\text{C}(s\text{I}-\text{A}{)}^{-1}\text{B}+D$$
的系统变换为状态空间形式：
$$\{\begin{array}{r}\stackrel{\cdot }{x}(t)=\text{A}\text{x}+\text{B}\text{u}\\ \text{y}(t)=\text{C}\text{x}+D\text{u}\end{array}$$

特别注意的是，任何系统的状态空间表达式都不是唯一的。同一个系统具有许多个（实际是无限多个）状态空间表达式。 MATLAB 命令只给出这些表达式中的一种可能形式。

5.2 状态空间模型到传递函数模型的变换 ( ss2tf )

命令：

[num, den] = ss2tf(A, B, C, D, iu); % 对于输出量多于1个的系统必须指定iu，例如系统有3个输入那么iu必须是1,2或3

以下同理

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5.3 状态空间模型到零点－极点模型的变换 ( ss2zp )

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5.4 零点－极点模型到状态空间模型的变换 ( zp2ss )

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5.5 传递函数模型到零点－极点模型的变换 ( tf2zp )

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5.6 零点－极点模型到传递函数模型的变换 ( zp2tf )

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5.7 连续时间系统到离散时间系统的变换 ( c2d )

命令：

[G, H] = c2d(A, B, Ts); 

可以将连续时间状态空间模型变换为离散时间状态空间模型，其中 Ts 是以秒为单位表示的采样周期。这里假设输入端有个零阶保持器。也就是说，采用上述命令，能将：
$$\stackrel{\cdot }{x}=\text{A}\text{x}+\text{B}\text{u}$$
变换为：
$$\text{x}(k+1)=\text{Gx}(k)+\text{Hu}(k)$$